ポアンカレ群のカシミールオペレーターについて
グループのカシミール演算子を、そのグループのすべてのジェネレーターと通勤する演算子として定義しました。ポアンカレ群では、2つのカシミール演算子が見つかりました。$p_\mu p^\mu$ そして $W_\mu W^\mu$ どこ $W_\mu$Pauli-Lubanskiベクトルです。彼らが本当にカシミール演算子であることを確認する際に、私はそれを言うことができますか？$p_\mu p^\mu$スカラーです、それはすべてのジェネレーターと自動的に通勤しますか？そして、2番目のカシミール演算子についても同じです。
回答
残念ながら、ローレンツ不変演算子は自動的にカシミール演算子ではありません-構築できる本質的に無限の独立したローレンツスカラーがあるため、これを見ることができます $M_{\mu\nu}$ そして $P_\mu$、一方、ポアンカレ群のカルタン部分代数の次元は有限であることが示されます。例は$\frac12 M_{\mu\nu} M^{\mu\nu}$、これは実際にはローレンツサブグループのカシミール演算子です-しかし、完全なポアンカレ群では、この演算子はと通勤できません $P_\mu$、したがって、グループ全体のカシミール演算子になるには不十分です。
これの本質は、整流子が $[AB, C]$ 等しい $A[B, C] + [A, C]B$、これは完全にゼロではありません（おそらく、用語に巻き込まれています-ローレンツスカラーではなく、数値のようにスカラーでも同じようにゼロです）
したがって、彼らのカシミール性を証明する最も簡単な方法は、交換関係を単純にクランクすることです（次の場合にはいくつかのトリックを使用できます）。 $W_\mu W^\mu$、しかしそれはこの答えの範囲を超えています）。逆に、これらがポアンカレ群の唯一の2つのカシミール演算子であることを証明するのははるかに難しいです-説明については、David BarMosheによるこの優れた回答を参照してください。