ポジティブを与えられた $x,y$ そのような $x > y$ そして $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $、最小値を見つける $(x+y)$

Aug 18 2020

正の数が与えられます $x, y$ そのような $x > y$ そして $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $。の最小値を見つける必要があります$(x+y)$。これが私の試みです。非負の数にAM-GM不等式を使用すると、

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

それで、私はこの結論に到達することができました。しかし、私はここで立ち往生しています。何か助けはありますか?

ありがとう

回答

2 MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 00:24

AM-GMによる $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ これは $$x+y\geq4.$$ 平等は $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ そして $4xy=(x-y)^2,$ これは $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ これは、最小値を取得したことを示しています。

2 AlbusDumbledore Aug 17 2020 at 23:51

置く $x=r^2{cos}^2a$ そして $y=r^2{sin}^2a$ またしましょう $a$ に属する $[0,\frac{\pi}{2}]$

したがって、の最大値を見つける必要があります $r^2$

与えられた方程式の値を差し込んで、私たちが持っている基本的な三角法の公式を使用して単純化します $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ または

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

1 ErikSatie Aug 18 2020 at 00:01

ヒント:置く $x=\alpha \cosh^2(x)$ そして $y=\alpha\sinh^2(x)$ 条件は次のようになります:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

式は次のとおりです。

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

私たちが見つけたそれを解決する $x+y\geq 4$

1 Cesareo Aug 18 2020 at 00:23

ヒント。

作る

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

我々は持っています

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

そう

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 00:10

与えられた $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

しましょう $yx=c$ 、 どこ $c>0$

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

関数をしましょう $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$定義されます。次に$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ 一定で $x$ 私たちに $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (を使用して $[1]$)。そう、$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

いつ $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ 指摘されたように。