p進数についての質問

Question

私はについて学ぼうとしています $p$-進番号といくつか質問があります。私はウィキペディアのページから動機について学ぼうとしました。それは非常に明確で、いくつかの簡単な例がありました。

しかし、私は以下を理解するのに苦労しています：

• 構築に代数的アプローチをとる場合、最初に構築します $\mathbb{Z}_p$ そしてそれから私達は構築します $\mathbb{Q}_p$ それをの分数のフィールドと見なすことによって $\mathbb{Z}_p$。わからないのはリングのゼロです$\mathbb{Z}_p$。たとえば、$p=7$（0,7,7,7,7、...）と（0,7,7,7,56,56,56、....）の両方に逆関数がないことがわかります。それらは両方ともゼロですか$\mathbb{Z}_p$？これは、7と14が両方ともゼロであるのと同じことですか？$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$？

• すべて $x\in \mathbb{Q}_p$ 次のように書くことができます $x=p^{-n}u,$ どこ $n\in \mathbb{N}, u \in \mathbb{Z}_p^*.$なぜこれが本当ですか？だから私はそれを理解しています$x=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}_p,$ だから私たちは持っています $a=p^ku, b=p^mv, m,k\in\mathbb{N}, u,v\in \mathbb{Z}_p.$ しかし、私は続行する方法がわかりません。

Answer 1

いいえ、ゼロで​​はありません。逆数はありません。 $\mathbb{Z}_7$ しかし、これはそれがゼロであるべきだという意味ではありません $\mathbb{Z}_7$ のようなリングです $\mathbb{Z}$ そして、多くの非ゼロ、非可逆要素があります。

で可逆要素を記述することができます $\mathbb{Z}_7$：シーケンスはで反転可能です $\mathbb{Z}_7$それが最初のコンポーネントが7で割り切れない場合に限ります。その理由は、のすべての要素が$\mathbb{Z}/7^n$これは7と互いに素であり、固有の逆関数があります。そのため、逆元をコンポーネントごとに取得でき、相互に互換性があります。

この事実によって、あなたはのすべての要素が $\mathbb{Z}_7$ 次の形式で書くことができます $7^nu$ ここで、uは反転可能です。次に、2番目の質問は別の言語でのこの事実です。