プルーフチェック：ろ過が完了すると、 $\mathcal{F}_{t}^{B}$ 正しい連続です $B$ 標準的なブラウン運動です
しましょう $B$ 上の標準的なブラウン運動である $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P)$ そしてさらにしましょう $(\mathcal{F}_{t}^{B})_{t \geq 0}$ に関連する自然なろ過である $B$ そのような $\mathcal{F}_{t}^{B}$ ために $t \geq 0$すべてのヌルセットが含まれます。ろ過が右連続であることを示します。
私のアプローチ：
自明なことに、 $\mathcal{F}_{t}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t+}^{B}$。
さて、「$\mathcal{F}_{t+}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t}^{B}$"、これは当てはまらないと仮定します。
我々が選択しました $A \in \mathcal{F}_{t+}^{B}\setminus \mathcal{F}_{t}^{B}$ そしてしましょう $N$ 次のようなヌルセットになります $B$ 継続している $\overline{\Omega}:=\Omega\setminus N$
次に、シーケンスを構築できます $(\varepsilon_{n})_{n \in \mathbb N}\subseteq(0,\infty)$ と $\varepsilon_{n}\downarrow 0$ なので $n \to \infty$ そのような $A$ です $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ いずれの場合も測定可能 $n \in \mathbb N$。
さらに $B$ 継続している $A\setminus N_{A}$ どこ $N_{A}$ いくつかのヌルセットであり、したがって $A\setminus N_{A}$ です $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ いずれの場合も測定可能 $n \in \mathbb N$、私たちは $A\setminus N_{A}$ それ $B_{t+\varepsilon_{n}}\xrightarrow{n \to \infty} B_{t}$ したがって $A \setminus N_{A}$ でなければなりません $B_{t}$測定可能。したがって、$A = (A \setminus N_{A} )\cup N_{A}$ です $B_{t}$-測定可能であることを意味します $A \in \mathcal{F}_{t}^{B}$ これは最初の仮定と矛盾します。
私の証明は正しいですか？何か改善はありますか？
回答
（省略します $\mathcal F^B_t$ に $\mathcal F_t$、など）
あなたはそれを示す必要があります $$ E[G\mid\mathcal F_{t+}] = E[G\mid\mathcal F_{t}]\qquad\qquad(\dagger) $$ 境界ごとに $\mathcal F$-測定可能 $G$。これが完了したら、検討してください$A\in\mathcal F_{t+}$ そしてとる $G=1_A$。次に（$\dagger$） ことを意味します $1_A=E[1_A\mid\mathcal F_{t+}] =E[1_A\mid\mathcal F_t]$ なぜなら $\mathcal F_t$ すべてのヌルセットが含まれています。これは、 $A$ です $\mathcal F_t$-測定可能。したがって、$\mathcal F_{t+}\subset\mathcal F_t$。
アイデンティティ （$\dagger$）は2つの結果です：（i）ブラウン運動の経路の（右）連続性、および（ii）ブラウン運動の定常的な独立した増分。
修正 $t>0$。単調族の定理により、（$\dagger$） ために $G$ フォームの $H\cdot K_t$、 どこ $H$ 有界であり、 $\mathcal F_{t}$-測定可能、および $$ K_u:=\prod_{i=1}^m f_i(B_{u+s_i}-B_u),\qquad u\ge 0, $$ どこ $m$ は正の整数で、 $s_i$ 厳密に正の数であり、 $f_i$有界で連続的です。そのことに注意してください$u\mapsto K_u$ （として）連続的であり、 $u\mapsto E[K_u]$は一定です。また、$K_u$ は独立しています $\mathcal F_u$ 前述の独立した増分のため。
イベントを修正する $C\in\mathcal F_{t+}$。しましょう$\{t_n\}$ 制限付きの厳密に減少する実数のシーケンスである $t$。次に$$ \eqalign{ E[1_C\cdot G] &=E[1_CHK_t]=\lim_{n\to\infty}E[1_CHK_{t_n}]\cr &=\lim_{n\to\infty}E[1_CH]\cdot E[K_{t_n}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_{t}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_0]\cr &=E\left[1_CH\cdot E[K_0]\right]. } $$ （3番目の平等は次の理由で続きます $C\in \mathcal F_{t_n}$、および $K_{t_n}$ は独立しています $\mathcal F_{t_n}$。）この計算は、 $E[G\mid\mathcal F_{t+}]=H\cdot E[K_0]$、これは $\mathcal F_t$-測定可能。したがって（$\dagger$）が続きます。
最初： $(\mathcal{F}_t^B)_{t\geq0}$ で正しく連続していない $t=0$。
ブラウン運動の場合、それはそれを保持します $B_0=0$ あなたがそれを得るように $$ \mathcal{F}_0^B = \sigma(\{\emptyset,\Omega\}\cup \mathcal{N}) $$ だが $$\mathcal{F}_t^B = \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad t>0$$ どこ $\mathcal{N}$メジャーのヌルセットです。正しくない連続ろ過に関するこの他の質問も参照してください。
あなたの証明の問題は、ブラウン運動の連続性がの測定可能性を意味しないということだと思います $A\setminus N_A$ に関して $B_t$。