QFTにおけるクーロンポテンシャルのフーリエ変換
私は素粒子物理学の修士課程で、クーロンポテンシャルを見つけたいと思っています。 $V(r)$ から $\tilde{V}(p)$でシュワルツ量子場の理論とスタンダードモデル私は持っているもの$\tilde{V}(p)$ 16.58関係から: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ これ $e_{R}$ 繰り込まれた充電されます。 $V(r)$ は: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ そして最初に取る $d_{0}p$ 上部の輪郭と: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ そう: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ 書く $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ 我々は持っています: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ 取る $dcos(\theta)$ 積分と私たちは得ました: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ 積分に戻り、最終的に次のようになりました。 $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ 発散しているがそうではない $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ 誰かが私が間違いを犯して道を教えてくれるのを手伝ってくれる?
回答
3Dフーリエ空間で後方変換を実行する必要があることに注意してください-フォトンフィールドの場合 $p^2 = 0$したがって、最初の元の表現はあまり意味がありません。それとは別に、古典的なクーロン場は時間に依存しません。これは、3D変換のもう1つのヒントです。
シュワルツの本では、これはChで行われます。3.4.2(クーロンポテンシャル)。
彼の結果を要約すると:
$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$
最後のステップで、ディリクレ積分の既知の結果を使用しました。
$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$
お役に立てれば。