QFTは周波数領域をどのように表しますか？
QFTは、特定の関数を時間領域から周波数領域に変換する古典的なアナログによって説明されることがよくあります。離散フーリエ変換を見ると、正弦波が特定の周波数でスパイクになるのを見るのは理にかなっています。
ただし、この「周波数領域」の概念が量子フーリエ変換にどのように適用されるかはわかりません。フーリエ基底はこの周波数領域をどのように表しますか？
量子「正弦波」にQFTを適用すると、特定の周波数が出力されますか？
回答
フーリエ変換は、時間領域から周波数領域に移動するよりも一般的です。たとえば、物理学者は定期的に位置空間から運動量空間にフーリエ変換します。
これらの例の両方で、フーリエ変換は基底変換です。つまり、状態自体を変更せずに、ある状態を表すために使用される基底ベクトルを変換します。同様に、QFTは、単に計算基底からフーリエ基底への基底変換です。
QFTがより一般的なフーリエ変換にどのように関連しているかを確認するには、計算ベースとフーリエベースの両方で整数がどのように表されるかを検討することが役立つ場合があります。説明のために、4キュービットシステムのQFTの特定の例について説明します。
計算ベースでは、整数はバイナリ形式で表されます（慣例により左側にMSBがあります）。したがって、4キュービットの場合$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ 代数的にこれはによって与えられます $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ に関連付けられている4つのブロッホ球について $\vert abcd \rangle$、から数えて $\vert 0 \rangle$ に $\vert 15 \rangle$：のように見える
ブロッホ球の表現では、 $\vert n \rangle$ 北極のいずれかで順序付けられたキュービットのセットによって区別されます。 $\vert 0 \rangle$、またはその南極、 $\vert 1 \rangle$。直感的に、カウントしながら、LSBに関連付けられたキュービット、$\vert d \rangle$、MSBに関連付けられたキュービットに対して、ステップごとに状態を変更します。 $\vert a \rangle$、8ステップごとに状態を変更します。[ブロッホ球は実際にはリーマン球（つまり、複素射影直線）であるため、次のような直交状態に注意してください。$\vert 0 \rangle$ そして $\vert 1 \rangle$、対蹠点で表されます。]
フーリエ基底で表される同じ16個の整数、 $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $、によって代数的に与えられます $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ フーリエベースで数えると $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ に $\vert \tilde {15} \rangle$ 4つのキュービットはすべて、ステップごとに状態が変化します。 $\vert \tilde a \rangle$ 最大のステップを踏む（つまり、 $\vert + \rangle$ そして $\vert - \rangle$、これは $\frac{1}{2}$ ステップあたりのターンの）と $\vert \tilde d \rangle$ 最小のステップを踏む（$\frac{1}{16}$ ステップあたりのターンの）。
に関連付けられている4つのブロッホ球について $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$、フーリエ基底でのカウントは、赤道面で回転する各キュービット状態として表示されます。 $\vert \tilde a \rangle$ に $\vert \tilde d \rangle$。
からの単一のカウントシーケンスで $\vert \tilde 0 \rangle$ に $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ に関連付けられているキュービット $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$、および $\vert \tilde d \rangle$ 正確に作る $2^3, \, 2^2, \, 2^1$、および $2^0$それぞれの赤道面での完全な回転。同様に、赤道面の「回転なし」を状態と見なすと$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$、その後 $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ すべてのキュービットを回転させずに与えますが、 $\vert \tilde {15} \rangle$すべてのキュービットを最大回転（正の方向）で与えます。[シングルキュービットQFTはアダマールゲートにすぎないことに注意してください。$H$。順番に、$H$この前の回答で述べたように、これは単に2レベルのDFTです。]
この例では、高マグニチュードがどのように関連付けられているかを確認できます$\vert a \rangle$ の構成要素として $\vert n \rangle$計算ベースでは、に関連する高周波に対応します$\vert \tilde a \rangle$ の構成要素として $\vert \tilde n \rangle$ フーリエ基底などで $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$、および $\vert d \rangle$。うまくいけば、これがQFTとDFTの類似性をより具体的にするのに役立つでしょう。
上で使用した方程式は、4キュービットシステムの例に固有のものです。彼らは自然に一般化します$N$-キュービットシステムとして $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
QFTにさらに精通し、快適さを求めている場合は、両方を納得させるのに最適な演習です。 $\vert n \rangle$ そして $\vert \tilde n \rangle$ の正規直交基底です $\mathbb{C}^{2^N}$。もう1つの優れた演習は、次のことを自分に納得させることです。$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ のユニタリ作用素です $\mathbb{C}^{2^N}$。（これらの2つの演習のいずれかのステートメントの有効性は、もう一方のステートメントの有効性を意味することに注意してください。）
あなたが適用する場合 $n$-キュービットQFTは次のように定義されます $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ 状態に作用する $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ と $N = 2^{n}$ 周波数の正弦波 $k$ として定義 $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ と $n > 1$ そして $k \neq 0$ 値がゼロになるのを避けるために、結果は次のようになります。 $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$。これは、次のような通常のフーリエ変換と直感的に一致します。$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ にとって $sin(2 \pi kx)$ 現代物理学の形式を使用している場合（$\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$）そして $\omega$頻度を示します。一方、波$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ 実数の余弦波と虚数の正弦波を組み合わせたものは、はるかに自然に直接変換されます。 $\left|k\right>$。
QFTの「時間変数」への対応は時間ではなく、計算上の基底状態ですが、2つの基底間の関係は時間と周波数の関係に似ています。あなたが取る場合$N$ 円全体を横切る複雑な単位円上の等間隔の点（$e^{-2\pi i x/N}$ にとって $x$ から $0$ に $N - 1$ 時計回りに通過します）、次に確率振幅で $a_k$ 各周波数 $k$ に対応 $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$：従来の「周波数」への直感的なリンクは、基本状態を通過するときに複素単位円が完全に円で囲まれる回数です。すべての周波数のこれらの合計は、通常どおり元の状態を返します。