Rモジュールのテンソル積について混乱している

Dec 31 2020

微分幾何学に関するTuの本で、彼は最初に定義します $Free(V\times W)$ なので:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ ここで、合計は有限です。

私が理解しているのは、上記の構造は形式的な組み合わせであり、モジュールの実際の構造を忘れているということです。言い換えれば、$v_1+v_2 = v_3$、それは真実ではありません $Free(V\times W)$ それ $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

次に、サブモジュールで商するテンソル積を形成します。 $S$ フォームの要素にまたがる: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ 次に、積からテンソル積へのマップがあります。 $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

ただし、 $v_3 = v_1 + v_2$、それから私はそれを示すことはできません $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ 次の場合はそうなるはずです $\otimes$ある モジュール準同型 マップバイリニアが。

回答

1 azif00 Dec 31 2020 at 02:03

以来 $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ そして $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ によって定義されます $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ 状態 $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ それを教えてくれます $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ これはと同じです $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$。また、定義する他の関係にも注意してください$S$ 私たちに \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}


次の場合を思い出してください $M$$R$-モジュールと $S$ のサブモジュールです $M$、商 $M/S$ によって定義されます $M/\!\sim$、 どこ $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ この場合、の同値類 $m \in M$ によって与えられます $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (したがって、 $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$)、そして私たちは定義します $R$-のモジュール構造 $M/S$ 沿って $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Jeff Dec 31 2020 at 12:10

ですから、後世のために、同じ混乱を抱えているかもしれない他の人たちのために答えを書きたいと思います。@KCdが明らかにしたように、$Free(V\times W)$ の形で、

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

しかし、私たちがの特定の要素を書く場合 $Free(V\times W)$ なので $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ そして $v_3 = v_1 + v_2$ その後 $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ 言い換えると、表記の括弧内では、正式な合計ではなく、通常どおりにモジュールの要素を組み合わせています。