ランダウ・リフシッツの「力学」の説明pg。14-15（保存則）
ランダウ・リフシッツの「力学」の第2章（14〜15ページ）に関して2つの質問があります。
時間の均一性に関しては、次のようになります。
$L$ したがって、閉鎖系です $L$ 明示的に時間に依存しない
$$\frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}q_i + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \ddot{q_i}$$
$$\frac{dL}{dt} = \sum_i \dot{q_i} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \ddot{q_i} = \sum_i \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i})$$
$$\frac{d}{dt}(\sum_i \dot{q_i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-L) = 0$$
その後 $$E := \sum_i \dot{q_i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-L.\tag{6.1}$$
エネルギーだから $E$ の線形関数です $L$、の加法性 $E$ の加法性が続きます $L$
質問1：なぜ$E$ の線形関数です $L$？
これが私の考えです：閉鎖系では、 $L$明示的に時間に依存しません。したがって、$\sum_i \dot{q_i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$時間の全導関数です。しかし、私はの線形関係についてはよくわかりません$E$ に関して $L$。
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空間の均一性について：
「この均質性のおかげで、閉鎖系の機械的特性は、空間内のシステム全体の平行変位によって変化しません。」
すべての粒子の半径ベクトルが同じ量の微小距離だけ移動するとします。 $\vec{r} \to \vec{r} + \vec{\epsilon}$
$$\delta L = \sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \vec{r_{\alpha}}} \cdot \delta \vec{r_{\alpha}} = \vec{\epsilon} \cdot \sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \vec{r_{\alpha}}} = 0.\tag{7.0}$$
質問2：なぜ $\delta L = \sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \vec{r_{\alpha}}} \cdot \delta \vec{r_{\alpha}}$？（申し訳ありませんが、私は常に変分表記に慣れているわけではありません。）著者はここでどの代数を使用していますか？
回答
事実 $E$ （6.1）で定義されているように、 $L$物理学とは何の関係もありません。これは純粋に数学的な事実であり、それを理解するには、「線形」という言葉の意味を理解する必要があります。
一般に、線形変換は（関数$T:V\to W$ 与えられたフィールド上のベクトル空間の間）すべてのスカラーに対して $c$、およびすべて $\xi,\eta\in V$、 我々は持っています \begin{align} T(c\xi + \eta) + cT(\xi) + T(\eta). \end{align}
あなたの場合、あなたは $E[L]:= \sum \dot{q}^i\frac{\partial L}{\partial q^i} - L$。だから、言って$E$ は線形に関連しています $L$ つまり、実数を指定して確認する必要があります $c$、および任意 $L_1,L_2$、 我々は持っています $E[cL_1 + L_2] = cE[L_1] + E[L_2]$。しかし、これは簡単です。\begin{align} E[cL_1 + L_2] &= \sum\dot{q}^i\frac{\partial (cL_1 + L_2)}{\partial \dot{q}^i} - (cL_1 + L_2) \\ &= \dots \\ &= c\cdot \left( \sum \dot{q}^i \dfrac{\partial L_1}{\partial q^i} - L_1\right) + \left( \sum \dot{q}^i \dfrac{\partial L_2}{\partial q^i} - L_2\right)\\ &= c\cdot E[L_1] + E[L_2] \end{align} 私はあなたが正当化できる標準的な微分法則と代数を使用すると確信しています $\dots$ 上記。
（これが抽象的なように思われる場合は、次の簡単な例を検討してください。 $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$、 $f(x) = mx$; これは確かに満足します$f(cx_1 + x_2) = cf(x_1) + f(x_2)$...これは線形変換のより一般的な定義が動機付けられているところです）。
微分可能関数の場合 $f:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}$、あなたはその考えに満足していますか \begin{align} df = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i \end{align}
はいの場合、（7.0）の背後にある考え方は非常に似ています。交換するだけです$f$ と $L$、および $d$ と $\delta$ （ただし、より正確な回答が必要な場合は、最初にバリエーションを適切に定義する必要があります $\delta$、L＆Lでは慎重に行われていないこと）。
2人のラグランジアンを考えてみましょう $L_1$ そして $L_2$ およびそれらに対応するエネルギー $E_1$ そして $E_2$。今考えてみましょう$$L=aL_1+bL_2$$ どこ $a,b$実数です。これは、次の類似した表現に従うエネルギーにつながります。$$E=aE_1+bE_2$$
これは、エネルギーが次のように線形（微分）演算子によってラグランジアンに関連付けられているためです。 $$E := \left(\sum_i \dot{q_i} \frac{\partial }{\partial \dot{q_i}}-\text{id}\right)L$$ ここで、idはID演算子を表します。
変分表記 $\delta$システム全体の変化を表します。基本的に、パラメータの小さな変更の結果として、関数形式はどのように変更されましたか。入力のわずかな変更の結果として関数の値がどのように変更されたかを通知する通常の導関数とは対照的です。
手元にある問題については、システム全体を何らかのベクトルでシフトしたいと考えています。その結果として、ラグランジアンの関数形式がどのように変化するかを確認したいと思います。以来$r$ そして $\dot r$ 独立している、すべての変更はからのみ来る必要があります $r$。そして、それが私たちが得る方法です：
$$\delta L = \sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \vec{r_{\alpha}}} \cdot \delta \vec{r_{\alpha}}$$