ラプラス変換：ゼロと対応するインパルス応答 $h(t)$
極とインパルス応答
インパルス応答が次の形式の場合：
$$h(t) = e^{-\sigma_0 t}\cos(\omega_0 t) \, u(t)$$
（どこ $u(t)$ 単位ステップ関数です）
そして、そのラプラス変換は次のとおりです。
$$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \int_{0}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt$$ $$s = \sigma + j\omega$$
極はの値です $s$ そのため $$D(s) = 0 \rightarrow H(s) = +\infty $$ しかし、これを理解するために、私は積分を見るのが好きです：それは無限大（極）になります$s$ のコンポーネントを反映します $h(t)$。ある意味で、$e^{-st}$ 「プローブ」 $h(t)$。確かに ：
単一の実極（$s = -\sigma_0$） 手段 $h(t) = e^{-\sigma_0t}u(t)$ 理由： $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}e^{-(-\sigma_0)t}dt = \int_{0}^{+\infty} 1dt = +\infty $$。
複素共役極（$s = -\sigma_0 \pm j\omega_0$）平均 $h(t)$ 指数関数的に減衰する正弦波です（たとえば $h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$）理由： $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)e^{-(-\sigma_0)t}e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^{+\infty}\cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt $$ で無限です $\omega = \pm\omega_0$ （フーリエ変換 $h(t)$ 正弦波である指数成分なし）。
複素共役極 $\sigma = 0$ （（$s = \pm j\omega_0$）平均 $h(t)$ 腐敗成分はありません（たとえば $h(t) = \cos(\omega_0t) u(t)$）理由： $$\int_{0}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ で無限です $\omega = \pm\omega_0$ （フーリエ変換 $h(t)$ これは正弦波です）。
ゼロ：インパルス応答のディラック？
それでは、見てみましょう $H(s)$「DSPの科学者およびエンジニアのガイド」のch.32、p.17に示されているように、ノッチフィルターの場合、積分について同様の推論ができるかどうかを確認します。
次のフィルターを使用してみましょう（上の図は説明のみで、ここでは異なる極と零点を使用しています）：
$$H(s) = \frac{s^2+1}{(s-(-1+i))(s-(-1-i))}$$
このフィルターには2つの極と2つの零点があります。
- ゼロ： $z_1,z_2 =\pm i$
- ポーランド人： $p_1,p_2 =-1 \pm i$
見つけよう $h(t)$ なぜ積分が実際に0になるのか、 $+\infty$ それぞれ、これらの零点と極の値に対して。
それが理にかなっている場合、このツールは次の逆ラプラス変換を提供します$H(s)$ ：
$$h(t) = \delta(t) - 2e^{-t}\cos(t) u(t) + e^{-t}\sin(t) u(t)$$
ポーランド人： $s=p_1$ または $p_2$ ラプラス変換では、h（t）の指数はキャンセルされ、実際に無限大である正弦波のフーリエ変換のままになります。 $\omega = \pm 1$ （私は議論していません $\delta(t)$ しかし、私はそれがこの結果を変えることはないと思います）。
ゼロ： $s=z_1$ または $z_2$ ラプラス変換では、ラプラス変換の実数部と虚数部が0の場合、結果は0になります。実数部は次のとおりです。
$$\int_{0}^{+\infty} (\delta(t) - 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
$$=\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
と
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt = -1$$
虚数部は：
$$\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt$$
と
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt = 0$$
質問
- 逆ラプラス変換が正しい場合の処理方法 $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt$ そして $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt$ それを示すために $H(s)$ 確かに0です $z_1$ そして $z_2$ ？
- これがすべて正しい場合、インパルス応答がその表現にディラックを持っていることは（物理的に）何を意味しますか？ほとんどの物理システムのインパルス応答は、減衰する指数関数と類洞の組み合わせにすぎないと思いましたか？
回答
あなたの最初の質問のためにあなたは以下を使うことができます
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-a)\,f(t)\,dt = f(a), $$
と $f(t)$任意の関数。したがって、あなたの場合、これらの積分はそれぞれ1と0の値を生成します。
2番目の質問では、線形時不変システムのみを検討します。その場合、そのようなシステムのインパルス応答は、そのシステムの伝達関数が分母と同じ次数の分子を持っている場合にのみ、ディラックのデルタ関数を含むことができます。つまり、形式の伝達関数
$$ G(s) = \frac{b_n\,s^n + b_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b_1\,s + b_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
と $b_n \neq 0$ 次のように書くこともできます
$$ G(s) = b_n + \frac{b'_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b'_1\,s + b'_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
と $b'_k = b_k - b_n\,a_k$。定数の逆ラプラス変換$b_n$ディラックのデルタ項に寄与します。伝達関数の残りの部分については、部分分数展開を使用して、ディラックのデルタ項に寄与できないことを示すことができます。
物理システムに分母と同じ次数の分子がある場合、システムの出力が入力の影響を直接受ける必要があります。このような物理システムの例としては、電圧を入力し、入力信号から出力への電圧漏れを伴う角度位置を測定する電気モーターがあります。ただし、ほとんどの物理システムには、分母として低次の分子があります。ノッチフィルターなどのデジタルフィルター（ただし、これらはzドメインであり、sドメインではありませんが、ほぼ同じ引数が当てはまります）で、等しい次数の分子と分母に遭遇する可能性が高くなります。ただし、これらのフィルターは物理システムと直列に使用されることが多いため、それらを組み合わせた伝達関数の分子も低次になります。
変換される関数にインパルスがある場合 $t=0$、片側ラプラス変換は一般的に次のように定義されます
$$H(s)=\int_{0^-}^{\infty}h(t)e^{-st}dt\tag{1}$$
（統合の下限に注意してください $0^-$）。とにかく、両側ラプラス変換にはその問題はありません。
この定義の結果は、あなたの導関数の積分が
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\cos(t)dt=\cos(0)=1$$
そして
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\sin(t)dt=\sin(0)=0$$
これにより、期待される結果が得られます。
ディラックのインパルスを含むインパルス応答は特別なものではありません。入出力関係のある単純な（理想的な）増幅器または減衰器$y(t)=\alpha x(t)$インパルス応答として（スケーリングされた）ディラックインパルスがあります。ディラックインパルスを入力した場合にのみ出力でディラックインパルスが得られることに注意してください。これは実際には発生しません。インパルス応答のディラックインパルスは、出力の一部が入力の（場合によってはスケーリングおよび遅延された）コピーであることを意味します。有限の非ゼロ制限を持つ周波数応答を持つシステム$\lim_{\omega\to\infty}H(j\omega)$インパルス応答にディラックインパルスがあります。その制限が存在し、有限であるそのようなシステムのいくつかの例は、ハイパスフィルター、バンドストップフィルターおよびオールパスフィルターである。ノッチフィルターは、バンドストップフィルターの特殊なケースです。