連鎖律は一般的なデリバティブにも当てはまりますか？
ベクトル空間の場合 $\mathbb{R}^n$ 連鎖律に従う偏導関数があります。例：
しましょう $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$、 $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$、の標準基底を想定 $\mathbb{R}^n$ です $x^i$ およびの標準基底 $\mathbb{R}^m$ です $y^j$構成については、次のようになります。
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
これは標準的な連鎖律です。
ここで、一般的なケースの導関数を代数間の線形写像と見なします。 $v:A\to B$ と $v(fg) = fv(g)+gv(f)$。
この場合、構成の連鎖律はありますか $v(f\circ g)$まだ保持しますか？そうではないようですか？
（私たちは差動について知っています $dF_p:T_pM\to T_p N$ 連鎖律はまだ成り立つ）
回答
滑らかな多様体の場合、連鎖律と呼ばれるものは、マークされた点を持つ多様体をとる関手の機能性の現れです。 $(M,p)$ その接空間に $T_pM$ そして、そのようなオブジェクトの滑らかなマップを取ります $f:(M,p)\to (N,q)$ 関連するディファレンシャルに $df_p:T_pM\to T_qN$。機能性は、与えられた構成を言う$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ 関係があります $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$。あまりわかりにくい言葉では、これは、構成の微分が微分の組成であることを示しています。それを具体的に言えば、$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ 上記のように、差はそれぞれ $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ そして $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ ここで、最初のスペースの座標は $x^1,\ldots, x^n$ 2番目の空間の座標は $y^1,\ldots, y^m$ 最初の行列は $m\times n$、そして2番目は $1\times m$。微分の合成は、これらの行列の乗算です。これは、次のように記述します。$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ これは $1\times n$ マトリックス。
あなたが尋ねている質問は異なります。それを言いましょう$A$ そして $B$ です $k-$いくつかの分野の代数 $k$。その後、射$v:A\to B$ これは $k-$線形およびライプニッツ（すなわち $v(fg)=v(f)g+fv(g)$）は微分演算子の一種です。ただし、ここでは、連鎖律の意味が明確ではありません。連鎖律は、多様体設定の関数の合成に微分演算子を適用するときに発生するものです。この場合、$f\circ g$ 先験的にも意味がありません。
私は次の提案をします：幾何学的空間のカテゴリーを考えると $\mathscr{C}$、および「関数」 $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$、各スペースに割り当てる $X$ 代数的構造 $F(X)$、私たちはそれを言います $F$次の場合は連鎖律に従います$F$ 上記の意味で関手です：与えられた $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ 我々は持っています $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$。これは確かに少し曖昧ですが、連鎖律を定義するために「使用した」ものを示しています。