連続関数のテスト
しましょう $f$ で定義された関数である $[0, 6]$、連続 $[0, 6]$ そしてそれは三階導関数で提供されます $]0, 6[.$次の主張のどれが間違っていますか？
$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$
以下にイタリア語の元の質問があります。上に翻訳があります。
正しい答えを見つけるための私の解決の試み。ザ・$\fbox{A}$ 本当の存在 $f$ で継続的です $[0,6]$。ザ・$\fbox{B}$ ワイエルシュトラスの定理に当てはまります。 $[0,6]$閉集合です。多項式で考えると$\deg(p(x))=6$ そして $\fbox{C}$私にとってそれは本当です。のために$\fbox{D}$ 私はそう思った $f$ そしてそれは三階導関数で提供されます $]0,6[$、ほとんどのために $f''$ で継続的です $]0,6[$。私は言うだろう$\fbox{E}$は誤りですが、私はそれを正当化することはできません。
私の推論が正しいか、それとも不一致があるかを尋ねます。
回答
私にとって、Cは、相対極値（または局所極値）として、の内部の点の近傍にある極値として理解している場合は偽です。$[0,6]$。確かに、これはすべての仮説を満たす反例であり、極大値も極小値もありません。$[0,6]$、最大値と最小値がありますが、次のようになります。 $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$
一方、Eは真です。 $f'''(5)=7$、それはの小さな近所でポジティブです $5$、 いう $I=(5-ε, 5+ε)$ （導関数は中間値の特性を満たします）、したがって $f''$この間隔で増加しています。したがって、$f''(5)=0$、 我々は持っています $f''(x)<0$ オン $(5-ε,5)$ そして $f''(x)>0$ オン $(5, 5+ε)$、 そのため $f'$ 極小値があります $I$、これは変曲点の定義に対応します。