連続全単射 $f: X \to Y$ コンパクトな空間から $X$ ハウスドルフ空間へ $Y$
仮定します $X$ コンパクトな空間であり、 $Y$ ハウスドルフは $f: X \to Y$連続全単射です。次のうち正しいものはどれですか？
（私） $f$ 開いています。
（II） $f$ 局所同相写像です。
（III） $f^{-1}$ 継続的です。
いくつかの観察と質問：
$Y$ コンパクトセットの連続画像は常にコンパクトであるため、コンパクトです。
以来 $f$ は連続的であり、すべてのオープンセットのプレイメージは $Y$ のオープンセットです $X$。しかし、すべてのオープンセットが$X$ の開集合にマッピングされます $Y$ 沿って $f$？なぜまたはなぜそうではないのですか？
局所同相写像は私にとって新しい用語です。ウィキペディアはそれを言います$f$ のすべての点が局所同相写像である場合 $X$ のオープンサブセットに同相である近傍（ポイントを含むオープンセット）があります $Y$。かどうかわかりません$f$局所同相写像であるかどうか。何か案は？
にとって $f^{-1}$ 継続的にするには、すべてのオープンセットのプレイメージが $X$ のオープンセットです $Y$ 下 $f^{-1}$。これはどういうわけか関係があるかどうか$f$開いている地図ですか？まあ、そう思います。場合$f$ 開いている、すべての開いているセット $X$ の開集合にマッピングされます $Y$。それ以来$f$ 連続している、プレイメージ（下のイメージ $f^{-1}$）のすべての開集合の $Y$ のオープンセットです $X$。したがって、$f$ が開いている、開いているセット $X$ そして $Y$ 全単射になり、必然的に $f^{-1}$継続的になります。したがって、（I）が真である場合、（III）はすぐに続くと思います。これは正しいです？
回答
私は本当です $f$要するに、ここで示したように、は閉じています。$C \subseteq X$ 閉じている、意味する $C$ コンパクトなので $f[C]$ ハウスドルフ空間のコンパクトおよびコンパクトサブセットは閉じているので、 $f[C]$ 閉じています。
そして全単射は従う $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ そうするとき $O \subseteq X$ 開いている、 $ X\setminus O$ が閉じているので、その画像も閉じています。 $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ で開いています $Y$。
そう $f$ は開いた（そして閉じた）連続全単射であるため、同相写像（ $g: Y \to X$ は逆写像であり、 $g^{-1}[O]=f[O]$ で開いています $Y$ すべてのオープンのために $O$ に $X$。したがって、IIIも成り立ちます。
IIは簡単です。なぜなら、それぞれにできるからです。 $x \in X$ 取る $X$ に同相の近所になる $Y$ （これは些細なことに $f(x)$）。同相写像は、自明に局所同相写像です。
したがって、すべては、全単射がなくても、連続性だけがすでにあるという事実から完全に直接続きます。 $f$ は閉じた地図です。