劣ガウス確率変数の規範の集中

Question

VershyninによるHDP本の定理3.1.1を読んでいます。定理は次のように述べています

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

ザ・ $\psi_2$ ノルムは、Orlicz関数を使用したOrliczノルムです。 $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

証明の中にわからないところを見つけました。

全体の証拠はそれを示しただけです $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $劣ガウス確率変数です。そして最後の文で、著者はそれが定理の結論と同等であると言った。

最後の文の同等性についてお聞きしたいと思います。

劣ガウス確率変数のセンタリング特性を調べてみましたが、 $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $。ヒントやアイデアは大歓迎です。

Answer 1

この本の基になっているHDPコースを受講しましたが、これらの結果にもしばらく時間がかかったと思います。あなたがしなければならない理由の少しの「循環感」がありますが、それは（少なくとも私にとっては）すぐには明らかではありません。要するに、2つのことが関係しています。

1. まず、証明から、濃度の不平等があります $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ これはすべてに当てはまります $t \geq 0$。あなたが言及するように、これは絶対値の項がパラメータを持つ劣ガウス確率であることを意味します$K^2$。命題2.5.2から、同等のものがあることがわかります（一定の因数まで）$K_1=c_1K^2$ そのような $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$。
2. Orliczノルムの定義から、 $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$これは、基準を最小または最小の正として指定します$t$ と $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$。このことから、規範は以下であってはならないと結論付けます$K_1$。私たちは関連しました$K_1$ に $K^2$ 上記と結果は次のとおりです。