レヴィの連続性定理を使用した分布の収束の証明
私は次の質問を解決しようとしています-パート（a）と（b）は構造が非常に似ているように見えますが、パート（b）を解決できません：
私の試み：
パート（a）には、レヴィの連続性定理を適用します。修正$u \in \mathbb{R}$ と注意 $$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
の独立によって $N_t$ そしてその $X_M(k)$ 優収束定理を適用して、2番目の等式の合計と期待値を交換します。 $X_M(k)$3番目のために。今のところ、指数のみを扱います。簡単に言うと、$Z \equiv X_M(1)$：
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$ ここで再びDCTを適用し、分布の対称性によって $Z$ 期待値は0です。
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
どこ $c = \frac{i u}{\sigma_M}$。すべてのための$t \ge 1$ 上記の合計は、（ $\exp(|c|M)$ たとえば）、したがって、特性関数の収束を正当化する $N(0,1)$ そして、パート（a）を結論付けることができます。
パート（b）については、私は同じことをしようとしてきましたが、これには明らかに次の計算が必要になります。 $\sigma_M$パート（a）では使用しなかったので。それは自明に示されています（簡潔にするために$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$） $$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
線（L）の後の収束は、次の場合にのみ成立すると思います。$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$ 合計のモジュラスを書き直して、に関するすべての情報を含めてみました $\sigma_{M(t)}$、すなわち等しいとして $$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$しかし、ここからこの結論を出す方法がわかりません。できれば助けてください-私はこれに愚かな時間を無駄にしました。
回答
定数が存在することに注意することによって $C > 0$ そのために
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
すべてに当てはまります $x \in \mathbb{R}$、 我々は持っています
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
今それを指摘することによって
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
違いをさらに制限することができます
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
絶対定数の場合 $C_2 > 0$。この境界はに収束するので$0$ なので $t \to \infty$ の仮定によって $M$、望ましい結論が続きます。
補遺。
私は信じている $\pi$ の分母で $\text{(5)}$タイプミスです。正しい式は次のようになります$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
の有効性 $\text{(*)}$ 制限に決定的に依存する $x \in \mathbb{R}$、など、級数展開から直接取得することはできません。ただし、これは、テイラー近似の剰余項に明示的な式を使用することで証明できます。例えば、私たちは利用するかもしれません$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$ したがって、証明 $\text{(*)}$ と $C = \frac{1}{6}$。