リーマン和の使用を制限する[重複]

Jan 08 2021

次の制限を解決するのに問題があります。

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

この質問は「リーマン和」セクションにあるので、これを積分に変換することになっていると思います。

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

私はそう思います $n$ はパーティションの数であり、 $1/n$ はそれぞれの長さなので、これは $b - a = 1$ または $b = a+1$、つまり、の値を見つけるだけで済みます $a$ そして $b$ それになるでしょう $+1$。しかし今、私はの価値を見つけることができないようです$a$ また $f(x)$。どうすればこれを解決できますか?

回答

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

ご了承ください $\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$ したがって、それは$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$