リングとカテゴリの乗法システム
Aがいずれかのカテゴリの場合、射のクラス$S$Aであると言われている乗法システムか$(a)$ それは構成によって閉じられます、すなわち： $id_X$ にあります $S$ すべてのための $X$でAといつでも$f$ そして $g$構成がそのようなAの射である$gf$ 理にかなっているなら $gf$ にあります $S$; $(b)$ フォームの任意の図 $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ と $s$ に $S$ として完了することができます $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} with$t$ に $S$。すべての矢印を逆にしても同じです。最終的には$(c)$ 射のペアのために $f,g:X\to Y$ が存在します $s$ に $S$ と $sf=sg$ 存在する場合のみ $t$ に $S$ と $ft=gt$。
私の質問は次のとおりです。この定義は、任意のリングの積閉集合の概念と一致しますか？$R$ 見れば $R$オブジェクトが1つだけのAbカテゴリとして？確かにコンディション$(a)$ 積閉集合（つまりサブセット）に必要なものを正確に提供します $S\subseteq R$ そのような $1\in S$ そして $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$）、 で、もし $R$ 可換です、 $(b)$ そして $(c)$ 明らかになりますが、非可換環の場合、これらの条件の証拠を見つけることができません。
誰かが証拠や反例を提供できますか？反例が答えである場合、それが可換の場合にのみ機能するという深い理由がありますか、それともこれらの場合を一般化するためだけに設計された乗法システムの概念ですか？
回答
はい、それは一致しますが、かなり些細なことです（可換の場合）。
あなたの（可換単位）環を見る $R$次のようなカテゴリとして。ザ・$R$-のモジュールアクション $R$ それ自体で射を誘発します $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$、したがって、1つのオブジェクト（つまり、 $R$）そして射のセットは $\iota(R)$。これが形成するという事実$\mathbf{Ab}$-カテゴリはリングの公理の一部です。アイデンティティの射が存在するためにはリングが単一である必要があり、可換性はあなたに他の公理を与えます。たとえば、あなたが与えられた場合$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD}基本的に元のリングの2つの要素が与えられます$R$。この図は、次のように仮定することで簡単に完成できます。$R$ 以来可換です $sf = fs$ 可換図式につながる $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD}ステートメント（c）は、次のようにして同様に証明されます。$t=s$。非可換環をサブセットにローカライズすることについて知りません$S$ 一般的には、しかし、これらのアイデアが理にかなっているなら、ローカリゼーションは間違いないでしょう $S^{-1}R$ いつ存在するだろう $R$これらのカテゴリー公理が満たされている特定の場合には非可換ですが、一般的にはそうではありません。私はこれを読んで非可換ローカリゼーションについて少し知っていますが、可換対応物ほど刺激的ではありません。
お役に立てば幸いです。