ロルの定理の問題

Question

だから、この質問があり、それを証明するように求められます。 $\tan x=1$ のルートが少なくとも1つ存在します $\tan x =-1$。と仮定すると$a,b$ の2つのルーツです $\tan x-1=0$、その後 $f(a)=f(b)=0$、 どこ $f(x)= \tan x-1$。定理によれば、$f'(c)=0$ どこ $c \in (a,b)$、すなわち、 $\sec^2 c =0$....そしてこれは定義されていません。私の理解または問題に何か問題があります。助けてください。

Answer 1

関数 $f(x)=\tan(x)-1$ すべてに対して連続的ではありません $x\in[a,b]$、（$a,b$ の連続したルーツであること $f$）、したがって、ロルの定理はそのような間隔では適用できません。

Answer 2

しましょう $f(x)=\tan x -1$、および $g(x)=\tan x +1$。

のルーツ $f(x)$ 間隔で発生します $I=[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ いくつかのための $k\in\mathbb{Z}$。のルーツ$f(x)$ 間隔の端点で発生します $I$。

のルーツ $g(x)$ 間隔で発生します $J=[-\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ いくつかのための $k\in\mathbb{Z}$。のルーツ$g(x)$ 間隔の端点で発生します $J$。

間隔 $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ に含まれています $[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ とのルート $g(x)$ で発生します $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$。のルーツ$f(x)$ で発生します $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ そして $x=\frac{5\pi}{4}+\pi k$。

$\frac{\pi}{4}+\pi k<\frac{3\pi}{4}+\pi k<\frac{5\pi}{4}+\pi k $。

したがって、少なくとも1つのルートがあります $g(x)$ の任意の2つのルート間 $f(x)$。