ルーディンの運動における問題
質問は、すべての代数的整数の集合が可算であることを証明するように私に求めます。
今ルーディンで与えられたヒントは：
$N=|a_0|+|a_1|+...+|a_n|+n$。方程式には有限の数の解があります。
ここで、方程式の係数のモジュロと方程式の次数の合計は常に正の量になります。
したがって、nを固定すると、係数を変更して取得する方法は無限にあります。 $N$。以来$ N \in Z$。可算集合の無限部分集合は可算であり、可算集合の可算和集合も可算であるため、ここから整数係数を持つ多項式は有限であると結論付けることができます。
代数の基本定理によると、多項式の根だけがあります。したがって、ここから、代数的数の総数は可算であると結論付けることができます。ヒントの使い方に戸惑っていたと思います。いくつかの提案が役立つでしょう。私はこれと同様の前の投稿を通過しましたが、アプローチは私が見たものとは異なりました。
回答
いくつかの表記法を追加してみましょう。これにより、多くのトポロジの問題が簡単になります。しましょう$$A_n = \{x: a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0\hspace{4mm}\text{and}\hspace{4mm} a_0,\ldots, a_n\in\mathbb{Z}\}$$ そう $A_n$ からの係数を持つ多項式の解である代数的数のセットです $\mathbb{Z}$ せいぜい秩序がある $n$。それに続く$A = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$すべての代数的数のセットになります。あなたがそれを示すなら$A_n$ 有限集合の可算和集合は可算であるため、は有限です。 $A$ 可算になります。
あなたはその考えを持っています $A_n$可算ですが、文言は改善される可能性があります。ヒントを使用すると、次数の多項式の数が有限であることに注意してください。$n$ そのルーツはに属することができます $A_n$。次に、これらの多項式のそれぞれは有限数の根を持っています。その結果$A_n$有限でなければなりません。したがって、$A$ 可算です。