累積確率(Python)を指定して確率変数の値を取得します

Aug 16 2020

ここに簡単な背景情報があります。モンテカルロアプローチを使用して、2つの対数正規確率変数の線形結合の結合CDFを取得し、それを反転してサンプリングを実行しようとしています。同じことを行うためのPythonコードは次のとおりです。

import numpy as np
from scipy import special


# parameters of distribution 1
mu1 = 0.3108
s1=0.3588

# parameters of distribution 2
mu2=1.2271
s2=0.2313

a = 2
b=3

N_sampling = 10000

kk=0

Y=np.zeros(N_sampling)
X1=np.zeros(N_sampling)
X2=np.zeros(N_sampling)

while(kk<N_sampling):
    F = np.random.rand(2)
    X1[kk]=np.exp(mu1+(2**0.5)*s1*special.erfinv(2*F[0]-1))  # sampling X1 (distribution1) by inverting the CDF
    X2[kk]=np.exp(mu2+(2**0.5)*s2*special.erfinv(2*F[1]-1))  # sampling X2 (distribution2) by inverting the CDF  
    
    Y[kk]=a*X1[kk]+b*X2[kk] # obtain the random variable as a linear combination of X1 and X2
    kk=kk+1
    

# Obtain the CDF of Y

freq, bin_borders = np.histogram(Y, bins=50)    
norm_freq = freq/np.sum(freq)
cdf_Y = np.cumsum(norm_freq)


# obtain the value of Y given the value of cdf_Y
cdf_Y_input=0.5
idx=np.searchsorted(cdf_Y,cdf_Y_input)
Y_out = 0.5*(bin_borders[idx-1]+bin_borders[idx])

質問:

この操作を実行するための直接的な機能はscipyにありますか?

コードの最後の行で、平均値を取得していますが、補間などによってより正確な値を取得する方法はありますか?もしそうなら、Pythonでそれを実装するにはどうすればよいですか?

回答

3 SeverinPappadeux Aug 16 2020 at 23:36

2つのRVX + Yを合計し、PDF X(x)、PDF Y(y)を知り、PDF X + Y(z)を知りたい場合はよく知られています。ここでも同様のアプローチを使用して、PDFを計算し、CDF = d PDF(z)/ dzを作成できます。

PDF aX + bY(z)= S dy PDF Y(y)PDF X((z-by)/ a)/ | a |

ここで、Sは統合を示します。

CDF用に直接書き込むことができます

CDF aX + bY(z)= S dy PDF Y(y)CDF X((z-by)/ a)

この積分を計算できます:

  1. 分析的に

  2. 数値的には、SciPyを使用します

  3. 畳み込みと同様に、フーリエ変換を前後に実行します

  4. もちろん、モンテカルロ積分は常にオプションです

更新

これがあなたを動かすための最も簡単なコードです

import numpy as np
from math import erf

SQRT2 = np.sqrt(2.0)
SQRT2PI = np.sqrt(2.0*np.pi)
    
def PDF(x):
    if x <= 0.0:
        return 0.0

    q = np.log(x)
    return np.exp( - 0.5*q*q ) / (x * SQRT2PI)

def CDF(x):
    if x <= 0.0:
        return 0.0

    return 0.5 + 0.5*erf(np.log(x)/SQRT2)    

import scipy.integrate as integrate
import matplotlib.pyplot as plt

a = 0.4
b = 0.6

N = 101

z = np.linspace(0.0, 5.0, N)
c = np.zeros(N) # CDF of the sum
p = np.zeros(N) # PDF of the sum
t = np.zeros(N) # CDF as integral of PDF

for k in range(1, N):
    zz = z[k]
    ylo = 0.0
    yhi = zz/b

    result = integrate.quad(lambda y: PDF(y) * CDF((zz - b*y)/a), ylo, yhi)
    print(result)
    c[k] = result[0]

    result = integrate.quad(lambda y: PDF(y) * PDF((zz - b*y)/a)/a, ylo, yhi)
    print(result)
    p[k] = result[0]

    t[k] = integrate.trapz(p, z) # trapezoidal integration over PDF


plt.plot(z, c, 'b^') # CDF
plt.plot(z, p, 'r.') # PDF
plt.plot(z, t, 'g-') # CDF as integral over PDF
plt.show()

グラフ

JeanA. Oct 22 2020 at 00:55

2つの対数正規分布の合計からサンプルを取得する場合は、モンテカルロスキームは必要ありません。

import openturns as ot 
x1 = ot.LogNormal()
x1.setParameter(ot.LogNormalMuSigma()([0.3108, 0.3588, 0.0]))
# in order to convert mu, sigma into mulog and sigmalog

x2 = ot.LogNormal()
x2.setParameter(ot.LogNormalMuSigma()([1.2271, 0.2313, 0.0]))

x1とx2の合計はそれ自体が分布です

sum = x1+x2

その平均sum.getMean()[0](= 1.5379)またはその標準偏差sum.getStandardDeviation()[0](= 0.42689241033309544)にアクセスできます

そしてもちろん、任意のサイズNのサンプルを取得できます。N= 5の場合: sum.getSample(5)

print(sum.getSample(5))
0 : [ 1.29895 ]
1 : [ 1.32224 ]
2 : [ 1.259   ]
3 : [ 1.16083 ]
4 : [ 1.30129 ]