量子調和振動子、零点エネルギー、および量子数n

Jan 09 2021

量子調和振動子のエネルギーは次のように与えられます。

\ begin {equation} E_ {qho} = \ left(n + \ frac {1} {2} \ right)\ hbar \ omega、\; \; \; \; \; \; n = 0,1,2,3、... \ tag {1} \ end {equation}

ハイゼンベルクの不確定性原理が、原子を停止させないことの意味を理解しています。 $0$ K.この不確実性は、原子が持つエネルギーの理由です。 $0$K-ゼロポイントエネルギー(ZPE)。ほとんどのテキストは、どのように$n = 0$ に等しい残りのエネルギーがまだあります $\frac{1}{2}\hbar\omega$

です $n$数だけ?もしそうなら、どのように$n = 0$ 温度とは何ですか?

回答

10 lepmueller Jan 09 2021 at 02:00

ゼロ点エネルギーはここでは重要ではありません。参照エネルギーはいつでも自由に選択できるため、ハミルトニアンを次のようにエネルギーシフトできます。 $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$そして、システムの物理学は同じままです(波動関数は同じになります)。この波動関数は(古典力学のように)ゼロに位置するデルタ関数ではなく、より広がっているため、たとえば、ハミルトニアンのこの固有状態にあるときに原子がまだ振動していると解釈できます。

あなたの質問について:はい、 $n$は、エネルギー固有状態を最低から最高までラベル付けすることを目的とした単なる数値です。温度は間接的にのみ作用します。温度を定義するには、関連する密度行列を使用して熱アンサンブルを定義する必要があります(適切に行うには複数の粒子が必要です)。$\rho$。これの一般的な選択はによって与えられます$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$ どこ $|i\rangle$ エネルギー固有状態を示し、 $E_i$ 対応するエネルギー固有値(この場合は調和振動子の場合)。 $T$ 温度です、 $k$ただの定数。あなたは(波動関数の膨張係数と同様に)その係数を解釈することができます$e^{-E_{i}/kT}/z$ 状態にある確率です $|i\rangle$。あなたはそれを見ることができます$T\rightarrow 0$、エネルギー固有値が最も低い係数のみが残ります(より高い係数はすべて残ります) $E_i$-値はより速く消えます)。これから、一般的なシステム(調和振動子の例だけでなく)の場合、システムは次の場合に最低エネルギー状態になると推測できます。$T\rightarrow 0$ (サーマルアンサンブルがある限り)。

6 TristanMaxson Jan 09 2021 at 01:51

量子数nは、調和振動子によって与えられるさまざまなエネルギーレベルを単純に表しています。

$\mathbf{n=0}$は特定の温度に対応していませんが、他のエネルギーレベルに対する相対的な占有は特定の温度に対応しています。システムの温度が上昇すると、より高いエネルギーレベルがより多くの数で占有される可能性があります。同様に、0 Kでは、最低のエネルギーレベルのみが占有されるという要件があります。

5 NikeDattani Jan 09 2021 at 02:56

です $n$ 数だけ?

$n$確かに数です。数字だけですか?まあそれはそれがラベルを付けることを意味する量子数です$n^{\textrm{th}}$ システムの励起エネルギーレベル(つまり、 $(n+1)^{\textrm{th}}$ システムのハミルトニアンの最小固有値、 $n=0$最小の固有値に対応し、$n=1$2番目に小さい固有値などに対応します

もしそうなら、どのように $n = 0$ 温度と何か関係がありますか?

調和振動子ポテンシャルを持つシステムの密度行列は、多くの場合、ハミルトニアンで与えられます。 $H$ 沿って:

\ begin {equation} \ rho = \ frac {e ^ {-\ beta H}} {\ textrm {tr} \ left(e ^ {-\ beta H} \ right)}、~~~~~~~~ \ beta \ equiv \ frac {1} {k_BT}。\ tag {1} \ label {eq:boltzmann} \ end {equation}

左上から右下への密度行列の対角線は、システムを見つける確率を示します。 $n=0,1,2,\ldots$、つまり、密度行列の左上の要素が $p$、に対応するエネルギーレベルで検出されるシステムの確率 $n=0$ です $p$。いつ$T=0$ システムが励起状態にある確率($n>0$)は、指数関数の減衰によって非常に抑制されており、でシステムを見つけることを期待できます。 $n=0$レベル。いつ$T$が大きいほど、励起状態が生成される可能性が高くなります。なので$T$ アプローチ $+\infty$、指数が1に近くなり、確率が各状態で等しくなるシナリオに近づきます $n$

式 この回答の1も次のとおりです。

  • 式 この回答の1:吸着結合エネルギーを絶対温度に変換する
  • 式 この回答の3:自由エネルギー摂動法のZwanzig方程式を使用して、(一時的に)近くの微小状態の自由エネルギー差を計算できますか?
  • 式 この回答の2:量子調和振動子、ゼロ点エネルギー、および量子数n
5 Jack Jan 09 2021 at 09:23

です $𝑛$ 数だけ?

要するに、 $n$ は量子調和振動子のエネルギー量子数です。

もしそうなら、どのように $𝑛$=$0$ 温度と何か関係がありますか?

特に、 $n$=$0$調和振動子が基底状態にとどまることを意味します。通常、量子系の基底状態はゼロ温度で存在すると想定されています。したがって、あなたは間の接続を見つけることができます$n=0$ とゼロ点。

  • これは、ゼロ温度と基底状態の関係について話す投稿です。

    • https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
  • これは、熱平衡について話すサイズについて話すための投稿です(これは温度を定義するために重要です):

    • https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium

お役に立てますように。

4 SusiLehtola Jan 10 2021 at 04:22

すでに他のいくつかの回答で述べられているように、 $n$ は数だけであり、州の人口は異なります $n$ 温度に依存します。

しかし、重要な点はまだ言及されていません。量子調和振動子はしばしば核運動のために呼び出されます。これは、Born-Oppenheimer核ポテンシャルエネルギー曲面の2次テイラー展開から生じます。$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$

それ以来、一次項が消えるところ $\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$ 少なくとも。

状態の空間的広がりは $n$、非調和効果の重要性も $n$、または温度の上昇とともに。