サージ・ラングの予測
この質問は、証明で同一性として扱われる同型を除いた同一性のフォローアップです。私はそこで与えられたすべての親切な助けを借りて、今私は上記のスレッドのものに二重の結果としてラングによって与えられた証明のスケッチを作成し、アイデンティティに基づくアイデンティティの彼の仮定を排除することができるだろうと思いましたそこにも同型を除いて。しかし、私はできません。ここに問題があります：
『Fundamentals of Differential Geometry』、1999年、18〜19ページで、サージ・ラングは次の定義を示しています。
そして、この逆マッピング定理の結果は次のとおりです。
まず第一に、いくつかの説明：射は意味します $ C^p$ マップ、ローカル同型はローカルを意味します $ C^p$微分同相写像、トップリニア同型写像は、ここでは線形同型写像と見なすことができます。さらに、私は$ V_1 \subseteq E_1 $ そして $ V_2 \subseteq E_2 $、およびラングが参照するローカル逆hは、 $ \varphi^{-1} $、Langの言い回しが示すように、導関数の逆ではありません。
繰り返しますが、私には見えないのは $ \varphi^{-1} $ 当然の要件を満たしています。
識別を排除するために $ E_2=F $ 証明では、代わりに
$ \varphi: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F $。
次に、 $ C^p $ 微分同相写像
$ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F: \quad (x_1,x_2) \mapsto (id_1, D_2f(a_1,a_2))[x_1,x_2] $
と交換 $ h:=\varphi^{-1} $ によって $ C^p $ 微分同相写像 $ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 $。しかし、これで、結果のマップはどのようになりますか$ f \circ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow F $ 常微分方程式に因数分解する $ V_1 \times V_2 \rightarrow V_2 $ と線形同型 $ V_2 \rightarrow W(0) \subseteq F $ オープンな近所Wと？
ローカルマップを教えてもらえますか $ \varphi^{-1} $明示的に？それは...ですか$ \varphi^{-1}(x_1,y) = (x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) $ にとって $ y \in F $？
明らかに $ \varphi^{-1}(\varphi(x_1,x_2))= \varphi^{-1}(x_1,f(x_1,x_2)) = (x_1,x_2) $。しかし、その逆は適切に解決されません。
$ \varphi(\varphi^{-1}(x_1,y))= \varphi(x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) =(x_1,f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(y)) $。
ちなみに、fを局所的に可逆にすることもできますか？構成の評価$ f \circ h \circ g $ どこにも通じていないようです
$ f(h(g(x_1,x_2))) = f(h(x_1,D_2f(a_1,a_2)[x_2])) = f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(D_2f(a_1,a_2)[x_2])) $。
それで、どのように進めるのですか？エラーはどこにありますか、または必要なアイデアは何ですか？投影を明示的に導入することを考えました$ pr_2: E_1 \times E_2 \rightarrow E_2 \equiv (\{0\} \times E_2) \subseteq (E_1 \times E_2) $ 作曲の冒頭： $ f \circ h \circ g \circ pr_2 $、しかし残念ながら、予測はありません $ C^p $-微分同相写像。
回答
この場合、迷子になるのははるかに簡単です。
証明を通過したら、再定義しましょう $$\varphi:U\to E_1\times F, \quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y))$$ これはまた、ラングがその中で行っていることとは少し異なります $\varphi$ スペース全体で定義されていません $E_1\times E_2$、以来 $f$ それ自体は近所でのみ定義されています $U$。しかし、この発言は決して深刻なものではありません。
これの派生物は次のとおりです。 $$D\varphi(x,y)\ [w_1,w_2]= \bigg[w_1, D_1f(x,y)\ [w_1] + D_2f(x,y)\ [w_2]\bigg]$$
これはで反転可能です $(a_1,a_2)$。これを単純化するために、Langのように行列表記を使用できます。$A, C$ あなたがそれを持っている可逆 $$\begin{pmatrix}A&0\\ B& C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1}\end{pmatrix}$$
逆関数定理から、いくつかの局所的な逆関数があることがわかります $$h: V_1\times V_2\to E_1\times E_2$$ と $V_1\subseteq E_1, V_2\subseteq F$ そのように開く $\varphi(a_1,a_2)\in V_1\times V_2$ （そして $h(V_1\times V_2)\subseteq U$）。
そのローカル逆なので、あなたは $\varphi \circ h=\mathrm{id}_{V_1\times V_2}$。この構成を書き出す：$$(\varphi\circ h)(x,y)=(h_1(x,y), f(h(x,y)) ) \overset!= (x,y)$$ したがって、 $f(h(x,y)) = y$、これは望ましい結果でした。
私がここでしたことは、証明を通過し、それを仮定せずにステートメントの証明になるように適合させることでした $E_2=F$。あなたの考えを読んで、あなたは同じことをしたいと思いますが、適応としてあなたは同型をプラグインしたいと思います$D_2f(a_1,a_2)$識別が行われるすべての段階で。これも可能であり、おそらくより体系的ですが、迷子になりやすいです。
それを行うための3番目の方法は、Langによって導出された実際のステートメントを使用することです。 $E_2=F$、およびこのステートメントのみを使用してケースを導き出します $E_2\neq F$。ここでは、最初にIDを使用して状況を取得する必要があります$E_2=F$、次に定理を適用し、その後、IDを使用して状況に戻ります $E_2\neq F$。
この無駄にしましょう $T:F\to E_2$どの例えば、同型$T=D_2f(a_1,a_2)^{-1}$。その後、$$f:U\to E_1\times F$$ との地図です $D_2f(a_1,a_2)$ 可逆であることを考慮してください $\tilde f:=f\circ (\mathrm{id}_{E_1}, T): E_1\times F\to E_1\times F$。ここで変更しました$f$ 必要なフォームのマップであるために、注意してください $$D_2\tilde f = D_2f(a_1,a_2)\circ T$$ これは可逆です-したがって、あなたは次のような見出語の状況にあります $E_2=F$。
定理を適用します。 $\tilde h:V_1\times V_2\to E_1\times F$ そのため $\tilde f \circ \tilde h$2番目のコンポーネントへの投影です。だが：$$\tilde f\circ \tilde h = f\circ ( (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h)$$ 定義 $h:= (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h$ 次に、あなたがちょうど持っているところの見出語を回復することができます $E_2\cong F$、完全ではなく $E_2=F$。