最大局所部分群の3つの共役類を持つ有限単純群
$\DeclareMathOperator\PSL{PSL}$[1]では、
有限の解けないグループ $G$ 次の場合に限り、最大サブグループの3つの共役類があります。 $G/\Phi(G)$ 同型です $\PSL(2,7)$ または $\PSL(2,2^q)$ いくつかの素数のために $q$。これは、有限単純群の中で、$\PSL(2,7)$ そして $\PSL(2,2^q)$ 最大サブグループの3つの共役類があります。
私の質問：最大の局所部分群の3つの共役類を持つすべての有限単純群も見つけることができるのだろうか。
サブグループは、素数冪次数の重要なサブグループの正規化子である場合、ローカルサブグループです。適切なローカルサブグループは、適切なローカルサブグループの中で最大である場合、最大のローカルサブグループです。
最大サブグループは必ずしもローカルである必要はなく、最大ローカルサブグループは必ずしも最大サブグループである必要はありません。私は、の3つの非共役極大部分群が$\PSL(2,4)=A_5$ そして $\PSL(2,7)$ それぞれローカルですが、それは本当です $\PSL(2,2^q)$ 素数ごとに最大ローカルサブグループの3つの共役類があります $q$？そして、どうすればそのようなプロパティを持つすべての単純なグループを見つけることができますか？
どんな助けでも大歓迎です！
参照：
[1] Belonogov、VA：最大サブグループの3つのクラスを持つ有限群。数学。Sb。、131、225–239（1986）
回答
CFSGを使用したい場合、これは実行可能だと思います（H. Benderによる、強く埋め込まれたサブグループを持つ有限群の分類を使用し、追加の作業を行う場合は、CFSGなしでも実行できる可能性があります）。
散発的なグループの場合、チェックの問題です。交代群で$G$、3つの非共役最大ローカルサブグループがあります。 $N_{G}(\langle (123) \rangle)$、 $N_{G}( \langle (12)(34), (13)(24) \rangle )$ そして $N_{G}(\langle (12345) \rangle)$、および $n \geq 7$、これらのいずれにも共役しない最大のローカルサブグループを構築するのは簡単です。
特性を定義するLieタイプの単純群の場合 $p$、次に最後の3つのランクの場合、最大の共役類が少なくとも3つあります。 $p$-非共役最大ローカルサブグループでもあるローカル（ここでは放物線です）。また、（いくつかの例外を除いて）、極大トーラスのノーマライザー、$T$ボレルの、は、放物線に共役ではない最大の局所部分群に含まれています。
したがって、実際の作業は、特性を定義するLieタイプの単純なグループを処理することです。 $p$ とせいぜいランクの $2$、およびこれは管理可能である必要があります。