サイコロゲームの期待値を計算します。

Question

私たちは2つの段階でゲームをプレイします：

ステージ1では、6になるまでサイコロを投げます。Nは、初めて6になるまでのプレイ回数を表します。

ステージ2では、N個のダイスを投げます（それぞれ1回だけ）。

質問：しましょう$X$ ステージ2で得た結果の合計を表し、計算します $E(X|N=n)$：

私が知っていること？そんなこと知ってる$N$ です $\operatorname{Geo}(1/6)$ この $E(N)=1/(1/6)=6$ 続行するには、の分布を知る必要があります $X|N=n$、助けてもらえますか？

Answer 1

投げたら $n$ サイコロの場合、それらの合計の期待値は次のようになります。 $3.5n$。これは、1つのサイコロの平均スコアが$3.5$ （そして期待値は線形です）。

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しましょう $A_i$ の結果に等しい $i$サイコロの目。 $E(A_i)$ 次の方法で計算できます。$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \, .$$ しましょう $B$ の合計に等しい $n$ロールズ。\ begin {align} E（B）＆= E（A_1）+ E（A_2）+ \ ldots + E（A_n）\\＆= \ underbrace {3.5 + 3.5 + \ ldots + 3.5} _ {\ text {$n$回}} \\＆= 3.5n \、。\ end {align}