さまざまな種類の射を予約注文することは可能ですか？
私は数学者ではなく、圏論にまったく慣れていないので、次の質問があります。
さまざまな種類の射を予約注文することは可能ですか？すべてのオブジェクト間のすべてのペアには、まだ1つの射しかありません。ただし、問題の射は常に異なるものです（単位元射を除く）。
非公式の例：David Spivaks [1] Ologのアプローチに従って、飼い主が購入した食べ物を常に食べる空腹の犬を想像してみてください。
Dogowner O、Dog D、Dog Food Fの3つのオブジェクトを想定します。さらに、「owns」、「eats」、「buys」（彼が購入する唯一のものである「Buysdogfood」の略）の4つの射を想定します。です」。
各オブジェクトはそれ自体であるため、各オブジェクトからそれ自体への「is」射があります。したがって、DはOを「所有」し、OはFを「食べ」、DはFを「購入」します。最後に、犬は定義上常に空腹であり、与えられたすべての食物を食べるので、
「所有」o「食べる」= 「買う」。
この場合の質問：これは予約注文ですか？これは、カテゴリのすべての基準を満たしています。アイデンティティの射と構成性が与えられます。[2]に続いて、「プロセットは（厳密な）薄いカテゴリです。オブジェクトx、yの任意のペアに対して、xからyへの射が最大で1つあるような厳密なカテゴリです。」というプレオーダーの基準も満たします。 「」
ただし、通常の例では類似したものは見たことがありません。⊆と≤はプレオーダーの通常の例であり、カテゴリ内のオブジェクトに適用される唯一の射です。
よろしくパベル
PS：私が間違った方向に進んでいることを示す可能性のある、より「正式な」例を思い付くことができませんでした。
出典：
[1] Spivak、David I、Robert E. Kent、「Ologs：知識表現のためのカテゴリーフレームワーク」 https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
回答
はい、これは予約注文です。圏論の重要な洞察の1つは、多くの場合、オブジェクトの抽象的なプロパティ（およびオブジェクト間の射）が具体的な説明よりも重要であるということです。あなたが指摘したように、あなたが説明したカテゴリーは「プレオーダーのようには見えません」。なぜなら、射には次のような名前が付けられていないからです。$\subseteq$ または $\leq$。しかし、圏論は名前を気にしません。あなたのカテゴリーはプレオーダーの定義を満たしているので、例えば、プレオーダーについていくつかの凝った定理がある場合、それをこのカテゴリーに適用することは完全に有効です。
簡単な答えはイエスです。射の名前/意味はデータの一部ではありません。重要なのは、射がどのように構成されているかです。カテゴリを定義することは、オブジェクトのセットと射のセットを（アイデンティティと構成とともに）指定することであることを忘れないでください。（それはそれかもしれません$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ 厳密に言えば、要素が事前に定義されていないため、整形式のセットではありませんが、カーディナリティ3の任意のセットを取ることが適切であるため、一般にセットと見なすことは無害です。）したがって、好きなように射にラベルを付けてください。名前を忘れて、構成の構造と一緒に基になるグラフを検討するだけで、正確に事前注文があることがわかります。