サンプル分散推定量のクラメール・ラオ下限の規則性条件をどのように確立しますか?

Nov 24 2020

しましょう $X_1,X_2,\ldots,X_n \sim \text{IID } f(\theta)$ パラメータを持つ分布からのランダムサンプルである $\theta$ そしてしましょう $S^2(\mathbf{x}_n) \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x}_n)^2$サンプルの分散を示します。クラメール・ラオ下限の規則性条件を確認したいのですが、次のとおりです。

$$\begin{align} &(1) & & \mathbb{V}_\theta(S^2(\mathbf{X}_n))< \infty, \\[10pt] &(2) & & \frac{\partial}{\partial \theta} \int S^2 (\mathbf{x}_n) f(\mathbf{x}_n | \theta) \ dx = \int S^2(\mathbf{x}_n) \frac{\partial f}{\partial \theta} (\mathbf{x}_n | \theta) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

私はそれを言うだろう $(1)$ 明らかなので $S^2$ 有限ですが、どうしたらいいのかわかりません $(2)$。私たちを手伝ってくれますか?

回答

2 Ben Nov 24 2020 at 10:03

実はコンディション $(1)$確率変数の分布に重要なモーメント条件を課さない限り、は満たされません。標本分散の分散IIDランダム変数については知られている形態を有し、根本的な分布は有限の尖度を持っている場合にのみ有限です。だから状態$(1)$ これが当てはまる場合にのみ満たされます。

状態 $(2)$は、微分演算子を積分内に持ち込むことができる条件です。積分の導関数の一般的な規則はライプニッツの積分規則によって与えられ、基礎となる分布のサポートがパラメーターに依存しない場合に規則性条件が成り立ちます。$\theta$