サポートが管状近傍にある微分形式 $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$
しましょう $\alpha$ トーラスの微分形式である $T^n$ そのサポート $\mathrm{supp}(\alpha)$ サブトルスの小さな近所に含まれています $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$。
質問：仮に$\alpha$あるメトリックに関して、閉じているか、調和していることさえあります。ド・ラームコホモロジーの授業かどうか疑問に思いました$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ プルバックのイメージに住んでいる必要があります $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ 投影によって誘発される $T^n\to T^k$。
実際、私は最初に次の質問について考えました。 $S$ 画像がの小さな近隣に含まれている特異なチェーン/サイクルです $T^k$、それから私たちは持っていますか $[S]\in H_*(T^n)$ のイメージにある必要があります $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$？継続的に撤回できるので、これに対する答えは肯定的であるはずです$S$ に $T^k$。しかし、上記のコホモロジー理論では、私は混乱します。
簡単にするために、 $k=1$ そして $n=2$。より一般的には、（コンパクトな）滑らかな多様体のペアを検討することができます$N\subset M$ トーラスではなく $T^k\subset T^n$。
回答
コンパクトで、 $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$、 どこ $B^{n-k}\subset T^{n-k}$小さなオープンボールです。そう$[\alpha]$ の画像にあります $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$。Künnethの公式と切除により、$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ 2番目の要因は程度のコホモロジーのみを持っています $n-k$、によって生成された、言う $[\omega]$。の画像$[\omega]$ に $H^{n-k}(T^{n-k})$ジェネレーターでもあります。だからユニークなものが存在します$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ そのような $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$
より一般的には、 $N\subset M$ 両方ともコンパクトで $N$ 向き付け可能な法バンドルを持っている $\nu$。場合$U\subset M$ の管状近傍です $N$ と $\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$、その後 $U$ 微分同相写像です $\nu$ そして $[\alpha]$ の画像にあります $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ どこ $\Theta$は、法バンドルのトム同型です（その後に切除が続きます）。この構成は時々示されます$\iota_!$ （（$\iota\colon N\to M$含まれています）。法バンドルのランクで度を上げます。
両方の場合 $N$ そして $M$ 方向付けられているので、 $\nu$、そして1つは説明することができます $\iota_!$ 前進を活用することによって $\iota_*$ ポアンカレ双対性と相同性 $N$ そして $M$。