正の行列のトレースは、投影の下で増加できますか?

Aug 23 2020

問題は対称行列に関するものです $\mathbb{S}_n$実数のベクトル空間として。しましょう$X$ 正の半定値対称行列であり、 $P : \mathbb{S}_n \to \mathcal{V}$ いくつかの部分空間への射影である $\mathcal{V} \subset \mathbb{S}_n$。いつもそうですか$\mathrm{trace}(P(X)) \leq \mathrm{trace}(X)$

私はこれが真実であることがわかります $\mathcal{V}$ 正規直交基底を持っています $\{A_i\}$ すべていずれかのトレースであるマトリックスで構成されています $0$ またはポジティブでトレース $\leq 1$。しかし、一般的に私はどのような根拠について何も知りません$\mathcal{V}$認めるだろう。反例を考え出すことは可能ですか?

回答

4 user1551 Aug 24 2020 at 06:17

次の直交基底を考慮してください $\mathbb S_2$ フロベニウス内積に関して: $$ A=\pmatrix{4&0\\ 0&2},\ B=\pmatrix{1&0\\ 0&-2},\ C=\pmatrix{0&1\\ 1&0}. $$ しましょう $P$ に正射影する $\mathcal V=\operatorname{span}(A)$ そしてしましょう $X=A+B=\operatorname{diag}(3,0)$。次に$$ \operatorname{tr}(P(X)) =\operatorname{tr}(P(A+B)) =\operatorname{tr}(A) =6>3 =\operatorname{tr}(X). $$

rubikscube09 Aug 23 2020 at 23:47

フォンノイマンの痕跡不等式を思い出してください:

行列の場合 $A,B \in M_{n\times n} (\mathbb{C})$、私たちはそれを持っています: $$ |\mathrm{Tr}(AB)| \leq \sum_{ i = 1}^{n} \alpha_i \beta_i $$ ここで $\alpha_i$ そして $\beta_i$ の特異値は $A,B$それぞれ、必要に応じて多重度でカウントされ、降順です。特に、$P$ は射影であり、特異値で対角化可能です $\alpha_i\in \{0,1\}$。その場合、$X$ 正定です: $$ \mathrm{Tr}(PA) \leq |\mathrm{Tr}(PA)| \leq \sum_{i = 1}^{n}p_ix_i\leq \sum_{i=1}^n x_i = \mathrm{Tr}(A) $$

ここで $p_i$ は射影の固有値であり、 $x_i$ の固有値は $X$