正の非循環多項式が存在します $f\left(a,b,c\right)$ そのため $f^{2}\left(a,b,c\right)\geq f\left (b,c,a\right)f\left(c,a,b\right).$

Aug 23 2020

私の推測/ 3つの正の数が与えられた$a, b, c$。正の非循環多項式が存在します$f\left ( a, b, c \right )$ そのため $$f^{2}\left ( a, b, c \right )\geq f\left ( b, c, a \right )f\left ( c, a, b \right )$$

私は正しいですか?非循環多項式が存在することがわかりました$f\left ( a, b, c \right )= a- b\neq 0$、です。 $$\left ( a- b \right )^{2}\geq \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )$$ なぜなら $$\left ( a- b \right )^{2}- \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )= \left ( a+ b- 2c \right )^{2}+ 3\left ( b- c \right )\left ( c- a \right )\geq 0$$

回答

1 MichaelRozenberg Aug 23 2020 at 19:21

そのようなことがありましょう $f$

したがって、 $$f(a,b,c)^2\geq f(b,c,a)f(c,a,b)$$ そして $$f(b,c,a)^2\geq f(c,a,b)f(a,b,c),$$ これは $$f(a,b,c)^2f(b,c,a)^2\geq f(a,b,c)f(b,c,a)f(c,a,b)^2$$ または $$f(a,b,c)f(b,c,a)\left(f(a,b,c)f(b,c,a)-f(c,a,b)^2\right)\geq0$$ それ以来 $$f(a,b,c)f(b,c,a)>0,$$ 私達は手に入れました $$f(a,b,c)f(b,c,a)-f(c,a,b)^2\geq0,$$ これは $$f(a,b,c)f(b,c,a)=f(c,a,b)^2,$$ 同様に $$f(a,b,c)f(c,a,b)=f(b,c,a)^2$$ そして $$f(c,a,b)f(b,c,a)=f(a,b,c)^2.$$
最後の3つの等式からの最初と2番目は次のようになります。 $$(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)(f(b,c,a)-f(c,a,b))=0$$ または $$f(b,c,a)=f(c,a,b)$$ 同様に、次のようになります。 $$f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b),$$それを与える $f$ は循環的であり、矛盾しています。

この推論は、あらゆる正の関数に対して機能することがわかります。 $f$ 3つの変数の。