正の整数の漸近密度です $n$ 満足 $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ ゼロに等しい？

Question

（この投稿は、このMSEの質問の派生物です。）

しましょう $\sigma(x)$ の約数の合計を示します $x$。（（https://oeis.org/A000203）

質問

正の整数の漸近密度です $n$ 満足 $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ ゼロに等しい？

方程式の例と反例を探してみました $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$Sage Cell Serverを介して、次のPari-GPスクリプトに対してこの出力が得られました。

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

からのすべての正の整数 $1$ に $100$ （整数を除く $99$） 満足させる $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$。

の最初の（反）例を一般化する $99$ 些細なことです。

場合 ${3^2}\cdot{11} \parallel n$、その後 $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ そして $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$。したがって、問題の漸近密度は$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

また、 $3 \parallel n$、そして確率で $1$ 2つの異なる素数が存在します $y$ そして $z$ に合同 $1$ モジュロ $3$ そのような $y \parallel n$ そして $z \parallel n$。この場合、$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ そして $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$。したがって、問題の漸近密度は$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

本当の未解決の問題は、漸近密度が $0$。

Answer 1

密度はゼロになると思いますが、かなりゆっくりです。場合$p \equiv 1 \bmod 6$ 素数である場合、2つの解決策があります $0<r<s<p-1$ の $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

場合 $p\parallel n$ その後、確率で $1,$ 2つの異なる素数があります $x $ そして $ y,$ それぞれが合同 $r \bmod p,$ と $x \parallel n$ そして $y \parallel n.$ （どちらかまたは両方が合同である可能性があります $s$ 同様に。）

次に $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ 一方 $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ したがって、これが起こらないための漸近密度は $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

これらのイベントのいずれも発生しない可能性は漸近的であると主張できる場合 $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ に合同な素数を超えて $1 \bmod 6,$ その漸近密度は $0.$