正方形のオイラー標数は何ですか？（ガウス・ボネの定理との混同）
ここの高校生は、オイラー標数、ガウス曲率、およびそれらを結び付けるガウス-ボネの定理について学ぼうとしています。
ガウス・ボネの定理によると：全曲率 $= 2 \pi \times$ オイラー標数。
これが私の混乱です。正方形（たとえば、平らな紙）のガウス曲率はゼロです。しかし、式に従う$\chi = V - E + F$、私は正方形のオイラー標数が $1$。
これは、頂点が $V = 4$、エッジ $E = 4$ と顔 $F = 1$。したがって、$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$。
だから私は方程式を得る $0 = 2\pi 1$、すなわち $0 = 2\pi$。
私の間違いはどこにありますか？
回答
最初の難しさは、使用していると思われるガウス・ボネ定理のバージョンが、境界のないコンパクトな2多様体用であるということです。球は、境界のないコンパクトな2多様体です。立方体の境界（エッジに沿って接着された6つの正方形）は、境界のないコンパクトな2多様体です。（あなたは頂点と辺はマニホールドの一部であると言うので、閉じられるように撮影したもの）の正方形は、コンパクトな2次元多様体であるとの境界。
多様体の記述では、通常、「境界なし」を省略します。通常、「境界あり」が含まれます。多様体のデフォルトの状態には境界がありません。
境界のあるコンパクトな2多様体用のGauss-Bonnettのバージョンがあります。 $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$ここで、最初の積分は表面上のガウス曲率であり、2番目の積分は境界の測地線曲率です。
閉じた正方形は、閉じたディスクと同相です。閉じたディスクの境界は円です。ディスクの円境界の測地線曲率は、その曲線が円に同じように閉じる量を測定します（ガウス曲率は、表面が球に同じように閉じる量を測定するのと同じです）。もちろん、円は1つの円とまったく同じように閉じるので、この積分は貢献します$2\pi$ 閉じたディスクまたは閉じた正方形を研究するときの左側にあります。
（ここには微妙にあります。特定の埋め込みによって引き起こされる「外因性」曲率を測地線（「内因性」）曲率と混同するのは簡単です。円をらせんの多くの回転に沿って埋め込んでから、らせんの外側に戻すことができます。この埋め込みには曲率がたくさんありますが、円は単なる円です...）
それほど重要ではない難しさは、特定の方法で正方形を埋め込んだ場合にのみ正方形が平らに見えることです。あなたは正方形をチューブに丸めることができます-それは平らではありません。このチューブを曲げて両端を合わせることができます。これも平らではありません。
正方形に上端と下端を接着し[*]、次に2つの新しい円を接着すると、コンパクトな2多様体（境界なし）が得られます。このオブジェクトはトーラスです。接着により、正方形の4つの頂点すべてが1つの頂点に接着され、正方形の反対側のエッジのペアが両方とも接着されています。結果には、1つの頂点、2つのエッジ、および1つの面があり、オイラー標数はゼロ、全曲率はゼロです。
このゼロは、平らな正方形に期待していたものです。ガウス曲率をゼロにするために、埋め込みがトーラスのすべての「曲率」を示さなければならないのは驚くべきことかもしれませんが、その「曲率」はすべて外因性の曲率です。
[*]この接着方法には注意が必要です。エッジの最初のペアについては、メビウスの帯ではなく環が得られるように接着する必要があります。円の接着については、最初の接着と同じ方法で接着すると、トーラスが得られます。「逆に」接着すると、クラインの壺ができます。もちろん、一定の曲率を持つクラインの壺は平らなので、ガウス曲率もゼロです。
GBの定理の達成は、表面の全曲率を関連付けることです。 $S$ それはいくつかの曲線によって囲まれています $c$ （i）のトポロジー $S$、および（ii）「に沿った曲率」 $c$"。境界のない閉じたサーフェスの場合、"に沿った曲率 $c$「項は最終的にゼロになります。したがって、の全曲率の間の関係が得られます。 $S$ とのトポロジー $S$ --- GBの定理として引用するもの。
境界のあるサーフェスの場合、境界に沿って曲率を含める必要があります。境界に「コーナー」がある場合は、そこにも「曲率」を含める必要があります。最終的に3種類の曲率が表示されます。
境界の「コーナー」での曲率、つまり0次元のもの
境界の弧に沿った曲率、つまり1次元のもの
表面の内部の曲率、つまり2次元のもの
そして、これらのある種の合計は、3種類のトポロジーオブジェクトに関連することになります。
0次元のもの（頂点）の数
1次元のもの（エッジ）の数
2次元のもの（顔）の数
2つの合計の間に興味深い対称性を提供します。
数式を正しく作成するには、向きを適切に設定する必要があるため、数式を書き出すつもりはありません。これは、テキストではなく黒板が個人的に必要な作業です。しかし、曲率への0次元の寄与は、頂点での「外角」です。そして、私のお気に入りの「覚えられるようにポケットに入れて運ぶ」の例は、地球の表面にある三角形で構成されています。
北極 $N$1つの頂点です。エッジはそこから英国のグリニッジを通ってポイントまで伸びています$G$赤道上。もう1つは、グアテマラ（経度90W）を通ってある地点まで伸びています。$A$赤道上。そして赤道の90度の弧はから$A$ に $G$三角形を完成させます。3つの頂点、3つのエッジ、1つの面があるので、$V-E+F = 1$。それがトポロジー側です。「ジオメトリ側」では、球の全曲率は次のようになります。$4\pi$、つまりこの三角形は $1/8$ 球の、全曲率を持っています $\frac12 \pi$。三角形の各エッジは測地線であるため、サーフェスに沿った曲率はありません。そして、各頂点で、外角は90度です。$\pi/2$、合計で $3\pi/2$頂点で。表面の曲率を加算し、（ゼロ）エッジの曲率を減算すると、次のようになります。$2\pi$、それは確かに $2\pi (V - E + F)$、 予想通り。
この三角形を非常に小さくなるまで縮小すると、たとえば紙にフィットすると、表面の曲率の項は本質的にゼロになり、3つの外角はすべてになります。 $2\pi/3$、したがって、合計は $2\pi$。