正規直交基底の画像の有界和は有界性を意味します

Question

これは、コンウェイの「機能分析のコース」、問題II.1.3からの問題です。仮定します$E = \{e_n\}$ ヒルベルト空間の正規直交基底です $H$ そして $A$ 線形写像です $H \to K$ （どこ $K$ ヒルベルト空間でもあります） $\sum_n \| Ae_n\| < \infty $。それを示す$A$ 有界です。

私はその声明は一般的に間違っていると信じています。しましょう$H=l^2(\mathbb{N})$ そして $K = \mathbb{R}$。拡張できます$E$ ハメルベースに $E'$ そのような $\|e\| = 1$ すべてのために $e \in E'$。しましょう$(f_n)$ の列挙可能なサブセットである $E' \setminus E$。次に設定$Ae_n = 2^{-n}$、 $Af_n = n$ そして $Ae = 0$ にとって $e \in E' \setminus (E \cup (f_n))$ に無制限の演算子を生成します $H$。私の推論は正しいですか？

Answer 1

あなたの例は大丈夫です。しかし、演習では、あなたが何を求めているかは尋ねられません。それはそれを示すために言う$A$独自の有界拡張があります。あなたの例は無制限の拡張を生成します。それは有界のものの存在を排除するものではありません。

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Answer 2

あなたの証明は正しいですが、ヒルベルト空間は可算ハメル基底を持つことができないことを明示的に言及する必要があります（これは些細な結果ではありません）。それがあなたのシーケンスが$(f_n)$ 存在します。