正規近似を使用して一様分布を推定します

Question

しましょう $X_1,...,X_{10}\sim U(0,1)$。正規近似を使用して推定します

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right).$$

これまでの私の解決策：

$EX=\frac{1}{2}$ そして $VarX=\frac{1}{12}$

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right)=1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\le\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi\left(\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi(54).$$

私は正規近似にかなり慣れておらず、ここで問題が発生していますが、何が原因かわかりません。

Answer 1

あなたが持っているとしましょう $X_1, X_2, \ldots , X_n$ iid確率変数、ここですべて $X_i$ の期待値があります $\mu$ との分散 $\sigma^2$。次に、中心極限定理を使用できます。十分に大きい場合$n$ すべての合計 $X_i$のはおおよそ次のように配布されます $\mathcal N(n\cdot \mu, n\cdot \sigma^2)$。と$\mu=0.5,\sigma^2=\frac1{12}$ そして $n=10$ 我々が得る

$$\sum_{i=1}^{10} X_i \overset{\lower{0.5ex}{\cdot}}{\underset{\raise{1ex}{\cdot}}{\sim}} \mathcal N\left(5 , \frac{10}{12}\right)$$

だからあなたのラインはに変わります

$$1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-P\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\le\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)$$

分母では、標準偏差が必要なため、平方根を取る必要があります。

$$\approx 1-\Phi\left(\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)=1-\Phi(0)=1-0.5=0.5$$

ここでは、確率変数の独立性を仮定しました。そして、中心極限定理を適用するための経験則の1つは、$n>30$、ここでは満たされていません。しかし、おそらく$n=10$ 取得するために使用されます $\Phi(0)$、評価が簡単です。