積分の値
次の積分の値を確認する必要があります $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ 被積分関数（の因数 $4n(n-1)$）含まれている）は、特定の確率変数のpdfです。 $n\geq 3$したがって、1になると思います。誰かが数学のような数式処理システムに親切にそれを入れることができれば、私は最も義務付けられます。CASソフトウェアにアクセスできません。
PS：-無料のCASソフトウェアを知りません。誰かがいたら共有してください
回答
積分は次のように書き直すことができます \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} 部品ごとに統合すると、 $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ したがって、 \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}
PSシンボリック計算にはSageMathとWolframAlphaを使用できます。どちらも無料です。
あなたの推測は本当のようです。Mathematicaは結果を出します$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ 不完全なベータ関数の観点から、そしてランダムな整数を入れる $\geq 3$ 常に1を生成します（私はMathematicaにそれを任意の一般的な結果として吐き出すことができませんでした $n$）。
CoCalcを使用できます。たとえば、入力integral(x^2,x)して取得します1/3*x^3
また、シンボリックパラメータも使用できます。
入力：
f(x,n)=x^2+n
integral(f(x,n),x)
出力：
1/3*x^3+n*x