線形秩序のモナド理論における実数のモナド理論の解釈。
以下は、シェラのグレビッチからの抜粋です-モナド秩序理論における二階述語論理の解釈。私は実数直線のモナド理論が秩序のモナド理論でどのように解釈できるかを理解しようとしています（それらはそれ以上の説明や証明を含まず、簡単にできると言っているだけです）。
ここに役立つかもしれないいくつかの定義があります。場合$(\alpha,<)$ は線形順序であり、 'のモナド理論によって $\alpha$'は構造の一階理論を意味します $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ どこ $<$ の順序です $\alpha$シングルトンサブセットで与えられます。「秩序のモナド理論」は、私たちが許す限り、これらすべての一次理論の共通部分です。$\alpha$ すべての線形順序で変化します。
おそらくいくつかの再帰的な公理のセットがありますか $T_{\mathbb{R}}$ モナド秩序理論との和集合を取ると $T_{\mathbb{R}}$ 構造の完全な理論が得られます $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$？（注目に値するのは、秩序のモナド理論とのモナド理論の両方$\mathbb{R}$ 決定不能です）。
この「簡単な」解釈は見つかりませんが、明らかな何かが欠けているのではないかと感じています。
回答
元の戦略を修正する方法がわかりません。特に、反例はありませんが、「は、エンドポイントや孤立点のない、デデキンドの完全な線形順序であり、そのすべてのサブ順序には共終数と共初期性があります。 $\le \omega$「必ずしもピン留めする必要はありません$\mathbb{R}$ 同型を除いて。
ただし、それでも期待される削減を得ることができます（一見しただけでは解釈は得られませんが、それについてはまだ考えています）。線形順序だと言う$A$ です $\mathbb{R}$Dedekind-completeであり、エンドポイントや孤立点がない場合はishです。重要な観察事項は次のとおりです。
（補題）すべて$\mathbb{R}$ish次数は同型の亜目があります $\mathbb{R}$、およびすべて $\mathbb{R}$ishサブオーダーの $\mathbb{R}$ 同型です $\mathbb{R}$。
ポイントはそれです $\mathbb{R}$MSOで定義可能な順序のMSOで定義可能なクラスの最下部に位置します。したがって、次の変換を実行できます。
（定義） MSO文の場合$\varphi$、 $\hat{\varphi}$ MSOの文である「すべて $\mathbb{R}$ishオーダーには $\mathbb{R}$ishサブオーダー満足 $\varphi$。」
見出語によって私たちはそれを持っています $\hat{\varphi}$ MSOの一部です-秩序理論 $\mathbb{R}\models\varphi$：
場合 $\mathbb{R}\not\models\varphi$ その後 $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$、すべての $\mathbb{R}$ishサブオーダーの $\mathbb{R}$ 同型である $\mathbb{R}$ 補題ごとに、したがってまた満足しない $\varphi$。
逆に、 $\mathbb{R}\models\varphi$ その後、すべて $\mathbb{R}$ish線形順序には $\mathbb{R}$ishサブオーダー満足 $\varphi$ -つまり、同型の亜目 $\mathbb{R}$ 見出語ごとに存在することが保証されているそれ自体。
地図 $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ 明らかに計算可能であるため、 $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ 必要に応じて秩序のモナド理論に。