線形代数-部分空間問題の次元

Aug 16 2020

この質問は、数学の科目テストのGRE線形代数セクションの講義スライドから見つけましたが、理解できませんでした。

仮定します $V$は有限次元nの実数ベクトル空間です。から行列のセットを呼び出す$V$ それ自体に $M(V)$
しましょう$T∈ M(V)$。2つの部分空間を考えてみましょう$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ そして $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$

次のうちどれが真でなければなりませんか?

I.もし $V$ の固有ベクトルのみを含む基底を持っています $T$ その後 $U=M(V)$

II。$\dim(U) +\dim(W) =n^2$

III。$\dim(U)< n$

IIは間違っているに違いないと思いますが、IまたはIIIの真実を理解することはできません。どんな助けでも大歓迎です!

回答

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1は必ずしも真ではありません。テイク用$n = 2$、そして $T(e_1) = e_1$ そして $T(e_2) = 2e_2$。しましょう$X$ stであること $X(e_1) = e_1$ そして $X(e_2) = e_1 + e_2$。次に$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$、 だが $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$。次に$TX \neq XT$

2は本当です。線形写像を考えてみましょう$f: M(V) \to M(V)$ 送信 $X$$TX - XT$。それから私達は書くかもしれません$W = \im(f)$ そして $U = \ker(f)$。次に、階数退化定理により、$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$

3は必ずしも真実ではありません。テイク用$n > 1$ そして $T =$アイデンティティ。次に$U = M(V)$ そう $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$