線形変換の式を見つける[クローズ]

Aug 17 2020

線形変換式の例を見つける $\varphi$ そのため:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

そのような問題にどのように取り組むか?への最も標準的な方法は高く評価されています。

回答

2 ilovebulbasaur Aug 17 2020 at 02:04

$\varphi$ 線形変換です $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$、したがって、マトリックス $A$ を表す $\varphi$ (標準ベースに関して)は $3$ 沿って $4$。さて、$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ その後、のカーネル内のすべて $A$ に直交している $(1,-1,6,2)$、設定しましょう $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$残りのエントリを指定していないため、まだ完了していません。しかし、これは難しいことではありません。$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ これは、すべての列ベクトルがのスカラー倍数であることを意味します $(2,3,1)$。たとえば、最初の列は$1/2$ タイムズ $(2,3,1)$$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ このロジックを続けると、最後の3つの列に同様に入力して、次のようになります。 $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ これで完了です。

1 azif00 Aug 17 2020 at 01:55

それを観察する $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ フォームのすべてのベクトルのセットです $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ どこ $y,z$ そして $t$すべての実数を実行します。したがって、線形マップを選択してください$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ そのような $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ そして $\varphi(v) = (2,3,1)$ いくつかのための $v \in \mathbb R^4$ のスパンではありません $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

ChrisCuster Aug 17 2020 at 02:03

次のマトリックスは、そのようなものを説明しています。 $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$