射影を使用したブラウン運動の条件付き期待値

Question

と仮定する $W_s,W_t$ 標準的なブラウン運動は $s<t$。以下を見つけてください$$E[W_s | W_t]=? $$ヒントは、投影法を使用することです。私が正しく理解していれば、私たちは投影によって次の特性を持っています$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ にとって $Y=E[W_s|W_t]$ そして $Z$ は、生成するのと同じろ過の下で測定可能な確率変数です。 $W_t$。このプロパティを使用して続行するにはどうすればよいですか？ヒントをいただければ幸いです。

PS私はここで与えられた解決策を理解しておらず、（可能であれば）投影法を使用して理解したいと思います。

Answer 1

主なアイデアは、私たちはそれを推測するつもりだということです $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ どこ $\beta$ のみに依存する（ランダムではない）定数です $s$ そして $t$。次に、投影法は私たちに教えてくれます（$Z = W_t$） それ

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

今、私たちは知っています $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$ そして $\mathbb{E}[W_t^2]=t$、したがって、方程式は次のように単純化されます。 $s = \beta t$ それゆえ $\beta = \frac st$。したがって、私たちはそれを結論付けます$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$。