シグマ代数にシグマ代数を装備する標準的な方法はありますか？

Question

仮定します $(X, \mathcal X)$測定可能な空間です。で値を取る可測関数について何か言いたいのですが$\mathcal X$、しかしそれをするために、私は必要です $\mathcal X$ シグマ代数を装備する。

装備の標準的な方法はありますか $\mathcal X$ シグマ代数で $\mathcal F_\mathcal X$ から可測関数について話すことができるように $(X, \mathcal X)$ に $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$？

私に思いついたいくつかのアイデア：

（1） $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$。しかし、これが補完の下で閉じられているとは思いません。

（2） $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$。しかし、これが可算和集合の下で閉じられているとは思いません。

Answer 1

私の知る限り、そのような測定可能な構造を構築するための標準的なアプローチはありません。

「非決定論」でマルコフ決定過程（コンピュータサイエンスの観点から見た）を一般化するいくつかの作業には、そのようなものが必要でした。参照はarXiv（DOI）で確認できます。

私たちのために仕事をした定義は、いくつかのサブセットを宣言することでした $\mathcal{X}$ それが中にある場合は測定可能 $\sigma$-代数 $H(\mathcal{X})$ セットによって生成されます $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$、 どこ $\xi$ 範囲 $\mathcal{X}$。これは主に、位相空間の閉じたサブセットの測定可能な超空間の構築によって動機付けられています。

実際には、のいくつかの適切なサブセットに制限します $\mathcal{X}$ 結果として生じるので、より賢明なようです $\sigma$-代数は巨大です：私が正しく思い出せば、一度 $X$ 無限であり、 $\mathcal{X}$ ポイントを分離し、次に $H(\mathcal{X})$ 可算に生成することはできません。