式変数で除算または乗算するときに、不等式シンボルを反転しますか？

Question

式変数を除算または乗算するときに、負の数で乗算または除算するときと同じ方法で、不等式シンボルを反転しますか？

私は現在、対数の不等式を理解することについていくつかの混乱を抱えています。

なぜ私が間違ったのかわからない不平等が1つあります。

$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$

1. それが本物であるために、私はそれを知っています $(2x-1)/(x-2) > 0,$ したがって、式変数をキャンセル（両側を乗算）できるはずです。 $(x-2).$ から記号を変更せずに $>$ に $<$ しかし、乗算した後、私は結果を得ました $x > 1/2$ 正解の代わりに $x < 1/2.$

2. 私も知っています $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ したがって、式変数をキャンセルすることもできるはずです。 $(x-2).$ から記号を変更せずに $<$ に $>$ しかし、乗算した後、私は結果を得ました $x < -1$ 正解の代わりに $x > -1.$

両方のケースを数直線で組み合わせた後、正解は次のとおりです。 $-1 < x < 1/2,$

しかし、私は得ました $x < -1, x > 1/2,$ を除いて $x=2,$ これは正しくないことがテストされています。

シンボルの切り替えがないことがエラーの原因であるかどうかはわかりません。そのため、私は質問しています。

このプロセスには式変数の乗算または除算が含まれるため、不適解の可能性があるため、私の方法は適切ではないと感じています。代わりに、試行+エラーテーブルを描画して入力する必要があります。

お手数ですが、よろしくお願いいたします。

Answer 1

我々は持っています $\frac{2x-1}{x-2}>0$。掛ける$(x-2)^2$ 両側に、

$$(2x-1)(x-2) > 0$$

それゆえ $x < \frac12$ または $x > 2$。

あなたの間違いはあなたがそれを仮定しているということです $x-2>0$ 真でなければなりません。

私達はまたそれを知っています $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$

場合 $x>2$、それから私達は持っています $2x-1 < x-2$、これは $x < -1$ 矛盾する $x>2$。

場合 $x < \frac12$、それから私達は持っています $2x-1 > x-2$ それゆえ $x > -1$。

結論は $-1 < x < \frac12$。