しましょう $\{x_n\}$ のシーケンスである $(0, 1)$ そのような $x_n \to 0$。シーケンスを表示する $\{f(x_n)\}$ 収束します。
私は次の問題を解決しようとしています:
仮定 $f: (0, 1) \to \mathbb R$一様に連続しています。しましょう$\{x_n\}$ のシーケンスである $(0, 1)$ そのような $x_n \to 0$。シーケンスを表示する$\{f(x_n)\}$ 収束します。
とにかく $f(x_n)$ 収束します、それはに収束する必要があります $f(0)$ しかし、これがどの定理(?)から続くのかわかりません。
第二に、私たちが間隔を扱うと言った場合 $[0, 1]$ のではなく $(0, 1)$どうやってアプローチするか考えていると思います。以来$f(x)$ 均一に連続します $[0, 1]$ すべてのための $\epsilon > 0$ 私たちは $\delta_\epsilon$ そのような場合 $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ その後 $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$。以来、$x_n \to 0$ 私たちはいつでもいくつかを選ぶことができると思います $N \in \mathbb N$ そのような $n > N$、 $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$。だから私たちはすべてのためにそれを持っているでしょう$n > N$、 $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ いくつかの選択のために $\epsilon > 0$。
しかし、ここではオープンインターバルを扱っています $(0, 1)$ のではなく $[0, 1]$ そのため、すべての場合に保証されるわけではありません。 $\epsilon > 0$ 私たちは $\delta_\epsilon$ そのような場合 $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ その後 $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$。これは、一様連続性の定義が次のように述べているためです。
しましょう $(X, d_X)$ そして $(Y, d_Y)$ 2つの距離空間であり、 $f: X \to Y$。私たちはそれを言います$f$ すべてに対して一様連続である $\epsilon > 0$ あります $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ すべての人のために $x, y \in X$、 $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$。
ただし、 $f: (0, 1) \to \mathbb R$ ポイント $0$ 嘘をつかない $(0, 1)$!だから私たちはすべてのためにそれを保証するものではありません$\epsilon> 0$、 $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$、 どこ $X = (0, 1)$ そして $Y = \mathbb R$ この文脈で。
この証明を修正する方法はありますか?また、なぜすべきなのか$f(x_n)$ 必然的に収束する $f(0)$ もし $x_n \to 0$?これは一様連続関数の特別な特性ですか?
回答
の一様連続性を使用して表示 $f$、 それ $(f(x_n))_n$ コーシー列です。 $f(0)$ 設定で定義されていません(のドメイン $f$ です $(0,1)$)だからあなたはそれを結論付けることはできません $f(x_n) \to f(0)$。しかし、$\Bbb R$が完了すると、シーケンスは制限を許可します。一様連続関数は連続であるため、関数が$g$ で定義 $[0,1]$ 一様に連続である場合、特に連続であるため、 $g(x_n)\to g(0)$。
1つのアプローチは、次の事実を使用することです。 $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ 均一に連続している $(a,b)$、その後 $f$ 独自の一様連続拡張を認めます $[a,b]$。この場合、次の値を一意に定義できます。$f(0)$ そのような $f:[0,1)\to\mathbb{R}$一様に連続しています。次に、あなたはそれを結論付けることができます$f(x_n)\to f(0)$ 継続性によって。
f(x)が連続である場合、 $\forall \epsilon, \exists \delta$ そのようなとき $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$。
にとって $x_n\to 0$、 $\exists N,$ そのようなとき $n>N, |x_n-0|<\delta$。
したがって、 $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ 収束します。
訂正:@FormulaWriterが言ったように、 $f(0)$ 明確に定義されていないため、交換することをお勧めします $f(0)$ 上記のように $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$。