閉まっている $[a,b]⊆\mathbb{R}$ の可算和集合ではありません $≥2$ 互いに素な閉区間？
実数直線では、閉区間は可算の互いに素な閉区間の和集合として記述できないことを示します。
正直なところ、それを示す方法がわかりません。閉集合について私はいくつかの例を知っており、カントール集合も良い例であると言われた場合、閉区間を可算の互いに素な閉区間の和集合として書くことができないことを示す例は見つかりません。シングルトーンセットによる自明表現を考えると、それは数えられないが、与えられた他の特性を満たしていることがわかります。しかし、私はどんな例も知りません。だから私は助けが欲しい。ありがとうございました。
回答
しましょう $I$ 実数直線の閉区間であり、矛盾があると仮定します。 $I$ コレクションの和集合です $\mathcal F=\{F_1,F_2,\dots\}$少なくとも2つの要素を持ち、多くても可算である、互いに素な空でない閉集合（必ずしも区間ではない）の。
補題。閉じた間隔があります$I_1\subseteq I$ これは互いに素です $F_1$ の少なくとも2つの要素を満たしています $\mathcal F$。
証明。ポイントを選択してください$a\in F_2$、そして $b$ ポイントになる $F_1$ に最も近い $a$。一般性を失うことなく、仮定する$a\lt b$; その後$(a,b)\subseteq I\setminus F_1$。以来$F_2$ 閉じて $b\notin F_2$、 $(a,b)\not\subseteq F_2$。ポイントを選択してください$c\in(a,b)\setminus F_2$。次に、閉じた間隔$I_1=[a,c]$ から素です $F_1$ の少なくとも2つの要素を満たしています $\mathcal F$。
見出語を繰り返し使用することで、シーケンスを取得できます $I\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots$ その交差点はすべての要素から素です $F_n$ の $\mathcal F$。入れ子になった区間の定理により交差は空ではないため、これは矛盾しています。
当然のことです。経路的に接続された位相空間は、可算の多くの閉集合への重要な分割を許可しません。