信頼区間の最小の長さを作る値は何ですか?

Aug 18 2020

確率変数 $X$ 続く $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

の信頼区間を考慮します $\theta$$S(X)=[X-b,X+c]$

信頼水準をに設定したとき $1-\alpha$、の値は何ですか $b$ そして $c$ これにより、信頼区間の長さが最小になります $d=b+c$


私が見つけたもの

これに先立つ質問は、 $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

そして私は簡単に答えを得ました $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

の信頼区間が必要な場合は $/theta$、設定する必要があります $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ しかし、私はのPDFを知りません $\theta$。これは私が立ち往生したところです。

誰か助けてもらえますか?

回答

1 user295357 Sep 03 2020 at 19:44

提供したpdfは与えられたθの下でのXの条件付きpdfであるため、与えられたθの下でのXの信頼区間(CI)を導出することは可能ですが、θのCIを導出することはできません。

逆に、f(θ| x)のpdfが同じ式で与えられる場合、θの最短CIはS(x)= [x + ln(alfa)x-ln(alfa)]として導出できます。

1 Ben Sep 04 2020 at 07:13

確率の結果に誤りがあります(これは、制限がないという事実から明らかです)。間隔を使用する$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ 範囲確率が必要です。

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(あなたの結果とは異なり、これは次の場合に1つに近づくことに注意してください $b \rightarrow \infty$ または $c \rightarrow \infty$。)したがって、このフォームの最適な信頼区間を見つけるには、次の最適化問題を解く必要があります。

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

少しの作業で、次の場合にオプティマが発生することを示すことができるはずです。 $b=c$、その結果、最適な信頼区間は中点が $x$。ラプラス分布が平均パラメータの周りで対称であることを考えると、これは驚くべきことではありません。$\theta$