シリーズ $\sum f(nx)$ 可積分のためにaeを収束します $f$

Question

シリーズの証明に関して問題に直面しています $\sum_{n=1}^\infty |f(nx)|$ aeに収束します $x$、 どこ $f\in L^1(\mathbb{R})$。

また、別のシリーズについてさらにお聞きしたいのですが $\sum_{n=1}^\infty |f(x+n)|$。私はそれがまたaeを収束するはずだと思います$f\in L^1(\mathbb{R})$、リーマン積分の結果に基づいて、。しかし、私もそれを証明できませんでした。

これらの2つの問題に対する私の最初の考えは似ています：セットがあると仮定して $E$正の尺度でシリーズは分岐しますが、次のステップが何であるかわかりませんでした。何かアイデアはありますか？

Answer 1

ここには2つの質問があります。2番目は簡単です。私たちは仮定することができます$f\ge0$。フォームの有界区間$[a,a+1]$、 $$\sum_{n=1}^\infty\int_{a}^{a+1}f(x+n)\,dx=\int_a^\infty f(x)\,dx<\infty.$$ 単調収束定理により、 $\sum_{n=1}^\infty f(x+n)$ ほぼどこでも収束しています $[a,a+1]$。

最初の質問について。間隔を考慮する$I=[a,b]$、ないゼロを含みます。その後、$$\sum_{n=1}^\infty\int_{a}^{b}f(nx)\,dx =\sum_{n=1}^\infty\frac1n\int_{na}^{nb}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty u(x)f(x)\,dx$$ どこ $$u(x)=\sum_{x/b\le n\le x/a}\frac1n.$$ 概算 $u(x)$ 調和級数によって、 $$u(x)=\log(x/a)-\log(x/b)+O(1)=\log(a/b)+O(1)$$有界です。以前のように、MCTはそれを示しています$\sum_{n=1}^\infty f(nx)$ ほぼどこにでも収束します $[a,b]$。