シリーズ $\sum_{p=1}^{\infty} p^{-\frac{7}{6}}$ 次の間隔のどれにありますか？

Question

シリーズ $\sum_{p=1}^{\infty} p^{-\frac{7}{6}}$ 次の間隔のどれにありますか？

（a） $[1,2]$

（b） $[6,7]$

（c） $[3,4]$

（d） $[5,6]$

級数が収束することだけを知っています $p$-以来のテスト $\frac{7}{6} >1$。それ以上の作業方法がわかりません。誰か説明してもらえますか？

Answer 1

\begin{align} & \sum_{p=1}^\infty p^{-7/6} = \sum_{p=1}^\infty \int_p^{p+1} p^{-7/6} \,dx \\[8pt] \ge {} & \sum_{p=1}^\infty \int_p^{p+1} x^{-7/6}\,dx = \int_1^\infty x^{-7/6}\,dx = 6. \end{align} そして反対方向に： \begin{align} & \sum_{p=1}^\infty p^{-7/6} = 1 + \sum_{p=2}^\infty p^{-7/6} = 1 + \sum_{p=2}^\infty \int_p^{p+1} p^{-7/6} \,dx \\[8pt] \le {} & 1+ \sum_{p=2}^\infty \int_p^{p+1} (x-1)^{-7/6} \, dx = 1 + \int_2^\infty (x-1)^{-7/6} \, dx \\[8pt] = {} & 1 + \int_1^\infty x^{-7/6} \, dx =7. \end{align} したがって、合計は $6$ そして $7.$