指数分布と最尤関数の追加
カーショップの見積もり $\alpha$車のオイルを交換するための分。実際に必要な時間$X$ で異なります $X\geq \alpha$そして、各顧客の間で異なります。この時間は指数確率変数で記述できると仮定できます。したがって、確率変数Xには次のPDFがあります
$$f_X(x):=\begin{cases}e^{\alpha -x} &x\geq \alpha \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
すなわち $X=\alpha + Z$ 一方、 $Z\sim exp(1)$。
見積もるには $\alpha$、10人の顧客のオイル交換に必要な時間を測定しました。
$$4.2 \quad 3.1 \quad 3.6 \quad 4.5 \quad 5.1 \quad 7.6 \quad 4.4 \quad 3.5 \quad 3.8 \quad 4.3$$
そこから経験的平均を得る $\bar{x}_{10}=4.41$。
最尤推定量を計算します。尤度関数を導出できないことに注意してください）。
解法尤度関数は次の式で与えられます。
$$\begin{align} L(\alpha;x_1,\dots,x_n)&=\prod_{i=1}^nf_\alpha(x_i)=\prod_{i=1}^ne^{\alpha -x_i}1_{[\alpha, \infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[\alpha,\infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \bigg(\min_{1\leq i \leq n} x_i\bigg)\\ &=\begin{cases}\exp(n\alpha-\sum_{i=1}^n x_i) & \alpha \leq \min_{1\leq i \leq n} x_i \\ 0 & \text{else}\end{cases} \end{align}$$
一方、
$$1_A(x)=\begin{cases}1 & x\in A \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
尤度関数を最大化するには、選択する必要があります $\alpha$ できるだけ大きくしますが、それより大きくすることはできません $\min_{1\leq i \leq n} x_i$。したがって、次の最尤推定量が得られます
$$\hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} x_i \quad \text{ or as a random variable} \quad \hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} X_i$$
質問：今、私は計算を取得します、私が混乱しているのはPDFです。確率変数があると言ったら$X=\alpha + Z$ と $Z\sim exp(1)$、上記のPDFをどのように入手しますか？
また、PDFについて少し混乱しているので、なぜ推定量を探しているのかよくわかりません。 $\alpha$ つまり、私はそれを見ることができません $\alpha$ 分布のパラメーターを表します。
回答
それを思い出します $$Z \sim \operatorname{Exponential}(1)$$ 意味する $$f_Z(z) = e^{-z} \mathbb 1(z \ge 0).$$ さあ、 $X = g(Z) = \alpha + Z$ いくつかのパラメータについて $\alpha$。次に$Z = g^{-1}(X) = X - \alpha$、および $dg^{-1}/dx = 1$。したがって、$$f_X(x) = f_Z(g^{-1}(x)) \left|\frac{dg^{-1}}{dx}\right| = e^{-(x-\alpha)} \mathbb 1 (x-\alpha \ge 0) = e^{\alpha-x} \mathbb 1(x \ge \alpha),$$主張されているように。しかし、これは本当に形式的すぎます。あなたがそのサポートを理解しているなら$Z$ オンになっています $[0, \infty)$、その後 $\alpha + Z$ サポートをにシフトするだけです $[\alpha, \infty)$密度には何もしません。つまり、固定パラメーターを追加するときに、指数分布の位置変換を行うだけです。$\alpha$。
他の質問については、 $\alpha$は実際にはパラメータです。これは、モデル内で車両の整備にかかる最小時間を表す固定量であるためですが、不明なままです。サンプルを観察することにより、私たちはその真の価値について推論しようとしています。これは私たちにとって興味深いことです。モデルには、推定できる他のパラメーターはありません。平均サービス時間を見積もりたいとお考えかもしれませんが、すでに言われています$\operatorname{E}[Z] = 1$、したがって $$\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[\alpha + Z] = \alpha + 1.$$したがって、平均サービス時間の知識は、最小サービス時間の参考になります。これは、使用しているモデルがすでに指定しているためです$\operatorname{E}[Z] = 1$追加のパラメータは追加しません。しかし確かに、もっと一般的な状況を考えることができます、と言う$$\operatorname{E}[Z] = \theta, \\ f_Z(z) = \frac{1}{\theta} e^{-z/\theta} \mathbb 1(z \ge 0),$$ これは平均パラメータを持つ指数分布です $\theta$ （または同等に、レート $1/\theta$）。について推論することにのみ興味がある場合$\alpha$、その後 $\theta$は迷惑パラメータと見なされ、サンプル平均はの推定量として見なされます$\alpha$ によって「汚染」される $\theta$。に適した推定量をどのように構築しますか$\alpha$ いつ $\theta$ また不明ですか？