指数オブジェクトを持つカテゴリの2つの定義間の同等性

Question

製品のあるカテゴリは、すべてのオブジェクトに対して指数関数を持っていると言われます$x, y$ オブジェクトが存在します $y^x$ 矢を装備 $e\colon x\times y^x\to y$ すべてのオブジェクトに対して $z$ とすべての矢印 $f\colon x\times z\to y$ ユニークな矢印があります $\bar{f}\colon z\to y^x$ 満足 $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$。

カテゴリに指数がある場合、 $f\mapsto \bar{f}$ 間の自然同型です $hom(x\times z, y)$ そして $hom(z, y^x)$ 逆で $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$。したがって、ファンクター$x\times (-)$ 随伴関手 $(-)^x$。

私はその逆について疑問に思っています：もし $C$ 次のような製品のカテゴリです $x\times (-)$ 右随伴作用素があります、それはそれに続きますか $C$ 指数がありますか？

特に、それを仮定すると $x\times (-)$ 右随伴作用素があります、どのように装備しますか $y^x$ 矢印で $e\colon x\times y^x\to y$。また、その方程式をどのように推測しますか$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ 正確に保持しますか？

どういうわけかの右随伴の存在 $x\times (-)$ 上記の指数を持つカテゴリーの普遍性の定義よりも弱く、より抽象的なと感じます。

Answer 1

オブジェクトを選択するにはACが必要だと思います $y^x$ それぞれについて $x$ そして $y$。

これを受け入れると、矢印が表示されます $e$随伴関手における単位/共同単位の形式主義から。場合$F$ の右随伴です $x\times(-)$ そして当然、 $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ 取る $a=Fy$。次に$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ 左側のアイデンティティは準同型にマッピングされます $e:x\times Fy\to y$右側に。私たちは$Fy$ なので $y^x$、 この $e:x\times y^x\to y$ 指数写像です。