証明の検証と理解が必要

Nov 28 2020

演習1の結果を使用して、Aが無限で、Bが有限であり、BがAの有限サブセットであるかどうかを証明すると、A \ Bは無限になります。

演習1A、Bを互いに素な有限集合とします。およびA≈m。そしてB≈n、そして。A∪B≈m+ n。2つの有限集合の和集合は有限であると結論付けます。

注：問題はピンターによる集合論の本から来ています

試行された証明（警告レクター：読者に注意してください...無限集合に関する私の知識は不安定です私は誘導とマッピングを使用できます）

演習1を証明しました。（完全な書き直し）

A =（A \ B）と書く$\cup$ B（1）

使用する $A \cup B $ 演習1から、A \ B =（$A\cup B)\cap B^{c}$ （2）

ここで、Aに数え切れないほどのサブセットBがあり、Aが有限であると仮定します。つまり、A≈n、B⊆A、およびB≈ωです。だからB$\subset$（A \ B）$\cup$ B。

Aは無限大であるため、A \ Bを有限にすることはできません。$\in$A \ B次に、$\in B^{c}$ その後 $B^c$ Bが有限であるため、矛盾する無限です

したがって、A / Bは無限大です

助けて

回答

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

いくつかのこと：

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$。したがって、$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ のすべての要素で結合する理由はありません $B$ と交差してそれらを削除する前に $B^\complement$。
あなたは推測します

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

そう $A\setminus B$ そして $B$ 互いに素です。

あなたが得ることができる任意の議論 "$A\setminus B$ そして $B$ から素である」 $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ あなたの声明（2）からはるかに簡単に動作します： $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$。またはもっと簡単に（私が推測するのはPinterが与える定義です$A\setminus B$）： $A\setminus B = A\cap B^\complement$。あなたは明らかに間違った方向に向かっていて、読者が同じように失われ、実際に何かを示したと思い込んで、それを偽造することに決めたようです。

それ $A\setminus B$ そして $B$互いに素であるということは非常に明白なことなので、それを実証する必要があるかどうかは疑わしいです。私が与えた集合の内包的定義によると、それは次のことに注意することによって証明できます$x \in A\setminus B \implies x \notin B$、したがって、 $x$ 両方にあります $A\setminus B$ そして $B$。「集合代数的」証明を主張する場合は、$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

あなたはあなた自身の仮定を追跡していません：

今それを仮定します $A$ 数え切れないほどのサブセットがあります $B$ そして $A$有限です; あれは、$A \approx n, B \subseteq A$、および $B \approx \omega$。そう$B\subset (A\setminus B)\cup B$。

$A\setminus B$Aは無限大なので、有限にすることはできません...

さらに、あなたは残りの議論で上記の項目のいずれも使用していませんが、なぜそれらに言及したのですか？あなたが使用した唯一のものはそれでした$A$ は無限大であり、これは定理の仮説です。

場合 $a\in A\setminus B$ その後 $a\in B^\complement$ その後 $B^\complement$ は無限であり、それ以来矛盾しています $B$ 有限です。

私はあなたがそれを示していると思います $A\setminus B \subseteq B^\complement$、これは確かに意味します $B^\complement$は無限です（無限のサブクラスを持つクラス自体が無限であることがすでに証明されていると仮定します）。だが$B^\complement$ 無限であることはとにかく矛盾しません $B$有限であること。実際、すべての有限集合の補集合は無限です。集合の補集合は、ピンターの集合論に基づく集合ではありません。それらは適切なクラスであり、適切なクラスは常に無限です。

演習1を使用してこれを証明する場合は、矛盾による証明が必要です。しかし、あなたが証明しようとしているのは「$A\setminus B$ は無限です」ので、あなたがする必要がある仮定は反対です：「$A\setminus B$ は有限です」。矛盾に到達したとき、それはあなたをそれに導いた仮定が間違っていることを意味します。$A\setminus B$ は有限です」は偽であり、その反対の「$A\setminus B$ は無限です」が当てはまります。