証明 $\sum_{k\geq1}\mathbb{E}[X^2\chi_{k-1\leq |X|<k}]\sum_{n\geq k}\frac1{n^2}\leq2\sum_{k\geq1}\mathbb{E}[X^2\chi_{k-1\leq|X|<k}]\frac1k$

Question

証明したい $$\sum_{k \geq 1}\mathbb{E}[X^2 \chi_{k-1 \leq |X| < k}] \sum_{n \geq k}\frac{1}{n^2} \leq 2\sum_{k \geq 1}\mathbb{E}[X^2 \chi_{k-1 \leq |X| < k}] \frac 1 k$$

それは本当ですか $$\sum_{n \geq k}\frac{1}{n^2} \leq \frac 2 k$$？いいえの場合、どうすれば最初の不等式を証明できますか？

Answer 1

$\int_j^{j+1}\frac 1 {x^{2}} dx \geq \frac 1 {(j+1)^{2}}$。合計$j$ これは与える $\frac 1 k=\int_k^{\infty} \frac 1 {x^{2}}dx \geq \sum\limits_{n=k+1}^{\infty} \frac 1 {n^{2}}$。今、証明はに減少します$\frac 1 {k^{2}}+ \frac 1 k \leq \frac 2 k$ それは本当です。