証明してください $p | a_i$ いくつかの私のために

Aug 22 2020

これに関する投稿があることは知っていますが、皆さんに私の証拠を確認してもらいたかっただけです。

場合 $p$ 素数であり、 $p|a_1a_2...a_n$ その後 $p|a_i$ いくつかのための $1\leq i \leq n$。

証明：

のために注意してください $n=2$、ステートメントが成り立ちます。ステートメントが次のように成り立つと仮定します$ 1\leq n \leq k.$ ために $n=k+1$、 $p|a_1a_2a_3....a_ka_{k+1}$。いくつか存在することに注意してください$a_j$ そのような $ 1\leq j \leq k+1$ そして $gcd(p,a_j)=1$ ために $j \neq i$。次に$p|a_1a_2a_3..a_{j-1}a_{j+1}..a_ka_{k+1}$。次に、帰納法の仮説によって、$p|a_i$ いくつかのための $i \neq j$。

編集：

それを経験したすべての人に感謝します。私の議論は正しくありませんでした。

私を助けてくれたegregに感謝します。

回答

2 egreg Aug 22 2020 at 13:35

あなたの議論は間違っています。それを証明する方法はありません$p$ いくつかの要因と互いに素でなければなりません：ケースを考慮してください $p=2$、 $a_1=a_2=\dots=2$。

それははるかに簡単です：もし $p\mid a_1\dots a_ka_{k+1}$、検討してください $$ p\mid (a_1\dots a_k)a_{k+1} $$ ケースについて知っていることを適用します $n=2$。

fleablood Aug 22 2020 at 23:49

それよりもはるかに簡単です。

2人に当てはまる場合 $a_1,a_2$ その場合 $p|a_1a_2$ その後、どちらか $p|a_1$ または $p|a_2$ （または両方）。

そしてそれが本当なら $k\ge 2$ の数 $a_1, a_2,......, a_k$ その場合 $p|a_1a_2.....a_k$ その後 $p$ の少なくとも1つを分割します $a_i$ （またはそれ以上、場合によってはすべて、ただし少なくとも1つ）。

その後、任意の $k+1$ の数 $a_1, a_2, ....., a_k, a_{k+1}$ その後、製品の場合 $a_1a_2..... a_ka_{k+1}$ の製品として見ることができます $a_1a_2a_3 .....a_k$ タイムズ $a_{k+1}$。

それは2つの数字です！そう$p$ どちらかが分かれる $a_1a_2a_3..... a_k$ または $p$ 分水界 $a_{k+1}$（または両方）。で、もし$p|a_1a_2a_3.....a_k$ 少なくとも1つを分割します $a_i; i\le k$。だからどちらか$p$ の少なくとも1つを分割します $a_i; i\le k$ またはそれは分割します $a_i; i=k+1$。そう$p$ の少なくとも1つをに分割します $a_i; 1\le i \le k+1$。

したがって、誘導により、このステートメントは任意の有限数の項に当てはまります。

=======追記====

それは難しい部分ではありませんでした。それは明らかなはずだった。の任意の製品として$a_1a_2.....a_n$ の $n$ 用語は、より少ない用語のより小さな製品にグループ化することができ、2つの用語でそれを証明するのに十分なはずです。 $a_1, a_2$。上記の帰納的議論は、そのようなステートメントが有効であることの正式な証明です。

しかし、あなたはない、それは二つの用語についても同様であることを証明する必要があります。

ユークリッドのレンマ：もし $p|ab$ その後 $p|a$ または $p|b$ または両方。

あなたはそれを証明しなければなりません。

===書かれたあなたの証明の批評=====

書かれたあなたの証明：

n = 2の場合、ステートメントが成り立つことに注意してください。

どうして？それを証明する必要があります。

j≠iに対して1≤j≤k+ 1およびgcd（p、aj）= 1となるようなajが存在することに注意してください。

どうして？それを証明する必要があります。
それは真実ではないので証明することはできません。検討する$p=7; a_1 = 35$ そして $a_2=49$ そして私達はそれを証明するように求められています $7|35\times 49$ その後 $7|35$ の $7|49$。あなたはどちらかを主張しています$\gcd(7,35) =1$ または $\gcd(7,49)=1$。それは真実ではありません。

次に、p | a1a2a3..aj−1aj + 1..akak +1。次に、帰納法の仮説により、いくつかのi≠jのp | ai。

これはあなたが何を主張しているのか明確ではありません。しかし、私はあなたがそれを主張していると思います$p|a_1a_2...a_ka_{k+1}$ そして $\gcd(a_i, p)=1$ （あなたは実際には知りません）そして $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}=\underbrace{\prod\limits_{j=1;k\ne i}^{k+1}a_j}_{\text{a product of }k\text{ terms}}$

しかし、なぜ $\gcd(a_i, p) =1$ それはどういう意味ですか $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}$？それは本質的に私たちが証明するように求められていることです。