証明してください $\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$

Aug 24 2020

$\triangle ABC$$D$$E$$F$ 側面のポイントです $BC$$CA$$AB$。また、$A$$B$$C$ ポイントは $YZ$$ZX$$XY$$\triangle XYZ$ そのために $EF \parallel YZ$$FD \parallel ZX$$DE \parallel XY$。その領域を証明する$$\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$$

私は本当にこの質問にどのようにアプローチするのか分かりません。どんな助けでも大歓迎です。私が知っている唯一のことは$\triangle DEF \sim \triangle XYZ$

相似変換についてはわかりませんが、相似性、メネラウスの定理、チェバの定理などの基本的な手法を使用してのみこの問題を解決することが期待されています。三角法も許可されています。

回答

4 MishaLavrov Aug 24 2020 at 23:09

一般性を失うことなく、 $[XYZ]$ (のエリア $\triangle XYZ$)は $1$、および間の類似性の比率 $\triangle DEF$ そして $\triangle XYZ$ です $r<1$ (そのため $[DEF] = r^2$)。

しましょう $a, b, c$ 間の距離である $EF$ そして $YZ$、 の間に $ZX$ そして $FD$、および $XY$ そして $DE$、それぞれ。

次に、 $[AEF] = \frac a2 \cdot EF$$[BFD] = \frac b2 \cdot FD$、および $[CDE] = \frac c2 \cdot DE$三角形の面積の式による。それらを足し合わせると、$$[ABC] - [DEF] = \frac a2 \cdot EF + \frac b2 \cdot FD + \frac c2 \cdot DE.$$

一方で、 $[AEY] = \frac a2 \cdot AY$$[AFZ] = \frac a2 \cdot AZ$$[BFZ] = \frac b2 \cdot BZ$$[BDX] = \frac b2 \cdot BX$$[CDX] = \frac c2 \cdot CX$、および $[CEY] = \frac c2 \cdot CY$; それらを一緒に追加し、例えばそれに注意してください$YZ = AY + AZ$、 我々は持っています $$[XYZ] - [ABC] = \frac a2 \cdot YZ + \frac b2 \cdot ZX + \frac c2 \cdot XY.$$

なぜなら $r$ 間の類似性の比率です $\triangle DEF$ そして $\triangle XYZ$、 我々は持っています $EF = r \cdot YZ$$FD = r \cdot ZX$、および $DE = r \cdot XY$、それは私たちにそれを伝えます
$$ [ABC] - [DEF] = r([XYZ] - [ABC]). $$ 仮定したことを思い出してください $[XYZ] = 1$ そして $[DEF] = r^2$、だから私たちは今持っています $[ABC] - r^2 = r(1 - [ABC])$。解くと、$[ABC] = r$、 そう $[ABC] = \sqrt{r^2 \cdot 1} = \sqrt{[DEF] \cdot [XYZ]}$

2 MathLover Aug 24 2020 at 23:25

いう、 $\triangle DEF = p$、次に三角形 $\triangle XYZ = p(t^2)$ ここで、tはの辺の比率です。 $\triangle XYZ$$\triangle ABC$

$\triangle XYZ = [XDEY] + [YEFZ] + [XDFZ] + \triangle DEF$ (3つの平行四辺形+ $\triangle DEF$)。

いう、 $EF = a, FD = b, DE = c$

$\triangle XYZ = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + \triangle DEF$ $p(t^2) = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + p$

$2p(t^2) = c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2 + 2p$ ...(私)

さて、 $\triangle ABC = \triangle CDE + \triangle AEF + \triangle BDF + \triangle DEF$

$\triangle ABC = \dfrac{1}{2}(c.h_3 + a.h_2 + b.h_1) + p$ ...(ii)

(i)と(ii)から、

$p(t^2) = (\triangle ABC - p)(1+t) + p$

$p(t-1) = \triangle ABC - p$

$\triangle ABC = pt = \sqrt{p.pt^2} = \sqrt{\triangle DEF.\triangle XYZ}$